Use o critério da comparação para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}
Isso é um problema de séries de termos positivos, e vamos usar o critério da comparação (mais especificamente o critério da comparação de limites).

Passo 2

Para escolher uma série comparadora, observamos que, para n grande, \sqrt{n^{2}+1}\sim n,
logo faz sentido tomar
b_{n}=\frac{1}{n}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica e diverge.

Passo 3

Aplicamos o critério da comparação de limites entre \displaystyle a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} e b_{n}=\frac{1}{n}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}}{\displaystyle\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{n^{2}}}} =1.
Como esse limite é finito e não nulo, ambas as séries têm o mesmo comportamento: como \sum b_{n} diverge, a série \sum a_{n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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