Use um Critério de Comparação para determinar a natureza das séries abaixo:
(1) sumn=1^infty 1n!

Passo 1

A questão pede para analisar a série de termos positivos sumn=1^infty 1n! usando um Critério de Comparação, que é um método para comparar com outra série de que já conhecemos o comportamento (convergente ou divergente).

Passo 2

Como todos os termos 1n! são positivos, podemos aplicar diretamente o Critério de Comparação Direta.

Passo 3

Observamos que para n>=1 vale a desigualdade
n! = 1cdot2cdot3cdots n ;>=; 2cdot2cdot2cdots2 = 2^n-1
Daí segue
1n! <= 12^n-1

Passo 4

A série com a qual vamos comparar é a geométrica sumn=1^infty 12^n-1. Sabemos que ela é convergente pois é geométrica de razão tfrac12<1.

Passo 5

Como 0<=1n!<=12^n-1 e sum12^n-1 converge, pelo Critério de Comparação Direta concluímos que sumn=1^infty1n! também converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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