Use o seu critério D’Alembert ou da razão para determinar a natureza das séries
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n}}{n^{2}}
usando o critério da razão (ou de D’Alembert). Vamos lembrar que, para uma série de termos positivos a_{n}, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}},
então
  • se L<1, a série converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definimos
a_{n}=\frac{4^{n}}{n^{2}}.
O critério de D’Alembert nos diz para calcular
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\displaystyle4^{\,n+1}/(n+1)^{2}}{\displaystyle4^{\,n}/n^{2}}
e, em seguida, tomar o limite quando n\to\infty.

Passo 3

Primeiro, simplificamos a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =4\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Agora o limite:
L =\lim_{n\to\infty}4\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =4\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2}} =4\cdot1 =4.

Passo 4

Como L=4>1, pelo critério da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}4^{n}/n^{2} diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério de D’Alembert.

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