Use o seu critério D’Alembert ou da razão para determinar a natureza das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
usando o critério da razão (ou de D’Alembert). O conteúdo envolve séries numéricas e testes de convergência. Se o critério da razão for inconclusivo (razão limite igual a 1), teremos de recorrer a outro teste, como a comparação com uma p-série.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}.
Aplicamos o critério da razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{n+1}{(n+1)^{2}+1}}{\displaystyle\frac{n}{n^{2}+1}} =\frac{n+1}{n}\,\frac{n^{2}+1}{(n+1)^{2}+1}.

Passo 3

Para obter o limite da razão, note que
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{(n+1)^{2}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}(1+1/n^{2})}{n^{2}(1+2/n+1/n^{2})} =1.
Logo,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1\cdot 1=1.
O critério da razão é inconclusivo quando esse limite é igual a 1.

Passo 4

Recorremos então ao teste de comparação assintótica. Para n\ge1 temos
n^{2}+1\le n^{2}+n^{2}=2n^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{n}{n^{2}+1}\ge\frac{n}{2n^{2}}=\frac{1}{2n}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} =\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica (p-série com p=1), que diverge. Como a_{n}\ge\frac{1}{2n} e a série de \tfrac1{2n} diverge, a série dada também diverge por comparação.

Resposta

A série diverge.

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