Use o seu critério D’Alembert ou da razão para determinar a natureza das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[(2 n!)]^{2}}{n!(n!)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\bigl[(2n)!\bigr]^{2}}{n!\,(n!)^{3}}
usando o critério de D’Alembert (razão). Vamos identificar o termo geral a_{n}, aplicar
L=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr|
e decidir convergência ou divergência a partir de L<1 ou L>1.

Passo 2

O termo geral da série é
a_{n}=\frac{\bigl[(2n)!\bigr]^{2}}{n!\,(n!)^{3}} =\frac{\bigl[(2n)!\bigr]^{2}}{(n!)^{4}}.
O critério da razão diz que, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}},
então a série converge se L<1 e diverge se L>1.

Passo 3

Vamos calcular a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{\bigl[(2(n+1))!\bigr]^{2}}{\bigl((n+1)!\bigr)^{4}}} {\displaystyle\frac{\bigl[(2n)!\bigr]^{2}}{(n!)^{4}}} =\frac{\bigl[(2n+2)!\bigr]^{2}}{\bigl[(2n)!\bigr]^{2}}\;\frac{(n!)^{4}}{\bigl((n+1)!\bigr)^{4}}.
Agora note que
\frac{(2n+2)!}{(2n)!}=(2n+2)(2n+1), \qquad \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1},
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\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\bigl[(2n+2)(2n+1)\bigr]^{2}\,\bigl(\tfrac{1}{n+1}\bigr)^{4} =4\,\frac{(n+1)^{2}(2n+1)^{2}}{(n+1)^{4}} =4\,\frac{(2n+1)^{2}}{(n+1)^{2}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}4\,\frac{(2n+1)^{2}}{(n+1)^{2}} =4\;\bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{2n+1}{n+1}\bigr)^{2} =4\cdot 2^{2} =16.

Passo 5

Como L=16>1, o critério da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério de D’Alembert.

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