Use o seu critério D’Alembert ou da razão para determinar a natureza das séries
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério de D’Alembert (razão) na série
\sum_{n=1}^{\infty} n\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n}.
Lembre-se que o critério diz: se
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|
existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente.

Passo 2

Aqui temos
a_n = n\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n}.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,n+1}}{n\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,n}} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac12 = \Bigl(1+\frac1n\Bigr)\frac12.
Tirando o limite, vem
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)\frac12 = \frac12 < 1.
Portanto, a série converge absolutamente (e, logo, converge).

Resposta

A série converge absolutamente, pois o limite da razão é L=\tfrac12<1.

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