Use o seu critério D’Alembert ou da razão para determinar a natureza das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n!)}{(n!)^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{3}}
e pede para determinar sua natureza de convergência usando o critério da razão (D’Alembert). Vamos lembrar que, para uma série de termos a_n, se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
satisfaz L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o critério é inconclusivo.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^3}
e aplicamos o critério da razão, ou seja, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente,
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(2(n+1))!}{\bigl((n+1)!\bigr)^3}}{\frac{(2n)!}{(n!)^3}} = \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\;\frac{(n!)^3}{\bigl((n+1)!\bigr)^3}.

Passo 4

Sabendo que (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)! e (n+1)!=(n+1)\,n!, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!}\;\frac{(n!)^3}{(n+1)^3\,(n!)^3} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^3}.

Passo 5

Para n grande, o comportamento dominante de
\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^3}
é da ordem de
\frac{4n^2}{n^3}=\frac{4}{n}\,,
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L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^3}=0.
Como L=0<1, o critério da razão garante convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

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