Use o teste da comparação do limite para estudar a natureza das séries :
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza da série
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{n^{3}}\bigr)
usando o teste da comparação de limites. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e o teste de comparação limite, e vamos precisar comparar com uma série-p de termo geral \tfrac1{n^{p}}.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{n^{3}}\bigr) \quad\text{e}\quad b_{n} = \frac1{n^{3}}.
Note que para n grande temos a_{n}>0 e b_{n}>0, e sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{3}}
é convergente, pois é uma série-p com p=3>1.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação de limites, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{n^{3}}\bigr)}{\tfrac1{n^{3}}}.
Fazendo a mudança de variável x=\tfrac1{n^{3}}, quando n\to\infty temos x\to0 e
L = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1.

Passo 4

Como 0< L < \infty e \sum b_{n} convergente, o teste da comparação de limites garante que
\sum a_{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{n^{3}}\bigr)
também converge.

Resposta

A série converge.

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