Use o critério de diferenciabilidade para verificar que as funções a seguir, são diferenciáveis em
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o critério de diferenciabilidade para verificar se a função $ f(x, y) = x^{3} y + e^{x y^{2}} $ é diferenciável em $ \mathbb{R}^{2} $. Depois disso, vamos calcular a derivada dessa função, chamada de $ f^{\prime}(x, y) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em $ \mathbb{R}^{2} $. Uma função $ f(x, y) $ é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. As derivadas parciais são as taxas de variação de $ f $ em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
Derivada parcial em relação a $ x $:
Para isso, derivamos termo a termo:
- A derivada de $ x^{3} y $ em relação a $ x $ é $ 3x^{2} y $ (pois $ y $ é tratado como constante).
- A derivada de $ e^{x y^{2}} $ em relação a $ x $ é $ y^{2} e^{x y^{2}} $ (pela regra da cadeia).
Então:
Derivada parcial em relação a $ y $:
Novamente, derivamos termo a termo:
- A derivada de $ x^{3} y $ em relação a $ y $ é $ x^{3} $ (pois $ x $ é tratado como constante).
- A derivada de $ e^{x y^{2}} $ em relação a $ y $ é $ 2x y e^{x y^{2}} $ (pela regra da cadeia).
Então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais $ f_{x}(x, y) $ e $ f_{y}(x, y) $, precisamos verificar se elas são contínuas em $ \mathbb{R}^{2} $. Observando as expressões:
- $ 3x^{2} y $ e $ y^{2} e^{x y^{2}} $ são funções polinomiais e exponenciais, que são contínuas em todo o domínio real.
- $ x^{3} $ e $ 2x y e^{x y^{2}} $ também são contínuas por serem combinações de funções polinomiais e exponenciais.
Como ambas as derivadas parciais são contínuas em $ \mathbb{R}^{2} $, a função $ f(x, y) $ é diferenciável em todo o plano $ \mathbb{R}^{2} $.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a matriz derivada $ f^{\prime}(x, y) $, também conhecida como a matriz jacobiana. Ela é formada pelas derivadas parciais que calculamos:
Resposta
A função $ f(x, y) = x^{3} y + e^{x y^{2}} $ é diferenciável em $ \mathbb{R}^{2} $ e sua derivada é: