Verifique que a função satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio.
f(x)=ln (x-1), [2,4]

Passo 1

O enunciado pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio para a função f(x)=ln(x-1) no intervalo [2,4] e depois encontrar todos os c que satisfazem f'(c)=f(4)-f(2)4-2 Vamos precisar usar as definições de continuidade, derivabilidade e a fórmula da derivada de ln.

Passo 2

A função f(x)=ln(x-1) tem domínio (1,infty), que contém o intervalo fechado [2,4]. Como ln(x-1) é contínua em seu domínio e derivável em (1,infty), ela é contínua em [2,4] e derivável em (2,4). Portanto, as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos o valor de f nas extremidades do intervalo: f(2)=ln(2-1)=ln1=0, f(4)=ln(4-1)=ln3 A razão de variação média é f(4)-f(2)4-2=ln3-02=ln32

Passo 4

A derivada de f é f'(x)=1x-1 O Teorema do Valor Médio garante um cin(2,4) tal que f'(c)=ln32 Substituindo: 1c-1=ln32

Passo 5

Resolvendo 1/(c-1)=ln3/2 temos c-1=2ln3Longrightarrow c=1+2ln3 Como ln3>0, c=1+2/ln3approx2.82, que está em (2,4). Portanto é o único valor que atende à conclusão do Teorema do Valor Médio.

Resposta

c=1+dfrac2ln3approx2.82

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