Verifique que a função satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números
que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio.
,
Passo 1
O enunciado pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
e depois encontrar todos os
que satisfazem
Vamos precisar usar as definições de continuidade, derivabilidade e a fórmula da derivada de
.
Passo 2
A função
tem domínio
, que contém o intervalo fechado
. Como
é contínua em seu domínio e derivável em
, ela é contínua em
e derivável em
. Portanto, as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas.
Passo 3
Calculamos o valor de
nas extremidades do intervalo:
A razão de variação média é
Passo 4
A derivada de
é
O Teorema do Valor Médio garante um
tal que
Substituindo:
Passo 5
Resolvendo
temos
Como
,
, que está em
. Portanto é o único valor que atende à conclusão do Teorema do Valor Médio.