Use o Critério da Integral para decidir se a série converge ou diverge, em cada caso:
\sum_{n=1}^{\infty} n \exp \left(-n^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} n\,e^{-n^{2}}
usando o Critério da Integral. Vamos associar à soma a função
f(x)=x\,e^{-x^{2}},
e verificar se \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge.

Passo 2

Checamos as hipóteses do Critério da Integral em [1,\infty):
  1. f(x)=x\,e^{-x^{2}} é contínua e positiva porque x>0 e e^{-x^{2}}>0.
  2. Para ver que f é decrescente, calculemos a derivada:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{-x^{2}}\bigr) =e^{-x^{2}}-2x^{2}e^{-x^{2}} =e^{-x^{2}}\bigl(1-2x^{2}\bigr).
Em x\ge1, tem-se 1-2x^{2}\le1-2<0, logo f'(x)<0. Assim, f é decrescente para x\ge1.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}x\,e^{-x^{2}}\,dx.
Fazemos a substituição u=x^{2}, du=2x\,dx, portanto x\,dx=\tfrac12\,du. Os limites vão de u=1^{2}=1 até u\to\infty. Assim,
\int_{1}^{\infty}x\,e^{-x^{2}}\,dx =\int_{1}^{\infty}e^{-u}\,\frac{du}{2} =\frac12\int_{1}^{\infty}e^{-u}\,du =\frac12\bigl[-e^{-u}\bigr]_{1}^{\infty} =\frac12\bigl(0-(-e^{-1})\bigr) =\frac{e^{-1}}{2},
que é finito.

Passo 4

Como \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge e f satisfaz as hipóteses do Critério da Integral (positiva, contínua e decrescente em [1,\infty)), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}n\,e^{-n^{2}}
converge.

Resposta

A série converge.

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