Use o Critério da Integral para decidir se a série converge ou diverge, em cada caso:
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
usando o Critério da Integral. Vamos associar à soma a função
e verificar se
converge.
Passo 2
Checamos as hipóteses do Critério da Integral em
:
-
é contínua e positiva porque e . - Para ver que
é decrescente, calculemos a derivada:
Em
, tem-se
, logo
. Assim,
é decrescente para
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
,
, portanto
. Os limites vão de
até
. Assim,
que é finito.
Passo 4
Como
converge e
satisfaz as hipóteses do Critério da Integral (positiva, contínua e decrescente em
), concluímos que
converge.
Resposta
A série converge.