Use o Critério da Integral para decidir se a série converge ou diverge, em cada caso:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Critério da Integral e decidir se a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é aplicar o Teste da Integral para séries, que relaciona a soma de termos a_n=f(n) com a integral imprópria de f(x).

Passo 2

Definimos a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x}
para x\ge1. Verificamos que f(x) é contínua, positiva e estritamente decrescente em [1,\infty), pois
f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0.

Passo 3

Aplicamos o Critério da Integral, calculando a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\bigl[\ln(x)\bigr]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}(\ln b-\ln1) =\lim_{b\to\infty}\ln b =\infty.
Como a integral diverge (é infinita), o Critério da Integral afirma que a série também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.

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