Verifique que a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{4 n^{2}-1} é uma série de encaixe (telescópica), calcule sua n-ésima soma parcial S_{n}=\sum_{j=1}^{n} \frac{2}{4 j^{2}-1} e o valor da soma da série.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^{2}-1}
e pede para mostrar que é telescópica, calcular a soma parcial
S_{n}=\sum_{j=1}^{n}\frac{2}{4j^{2}-1}
e, por fim, o valor da soma infinita. Vamos precisar de decomposição em frações parciais e do conceito de cancelamento telescópico.

Passo 2

Fazemos a fração parcial para o termo genérico \frac{2}{4j^{2}-1}. Procuramos A e B tais que
\frac{2}{4j^{2}-1} = \frac{A}{2j-1} + \frac{B}{2j+1}.
Multiplicando por (2j-1)(2j+1), vem
2 = A(2j+1) + B(2j-1).
Comparando coeficientes de j e constantes obtemos A=1 e B=-1. Assim,
\frac{2}{4j^{2}-1} = \frac{1}{2j-1} \;-\;\frac{1}{2j+1}.

Passo 3

Substituindo na soma parcial,
S_{n} = \sum_{j=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{2j-1} - \frac{1}{2j+1}\Bigr).
Escrevendo os primeiros termos:
S_{n} = \bigl(1 - \tfrac13\bigr) + \bigl(\tfrac13 - \tfrac15\bigr) + \cdots + \bigl(\tfrac{1}{2n-1} - \tfrac{1}{2n+1}\bigr).
Tudo cancela, restando apenas
S_{n} = 1 - \frac{1}{2n+1}.

Passo 4

Para a soma da série, fazemos n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_{n} \;=\; \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{2n+1}\Bigr) \;=\; 1.

Resposta

S_{n} = 1 - \dfrac{1}{2n+1} e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^{2}-1} = 1.

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