Verifique que a série
é uma série de encaixe (telescópica), calcule sua
-ésima soma parcial
e o valor da soma da série.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para mostrar que é telescópica, calcular a soma parcial
e, por fim, o valor da soma infinita. Vamos precisar de decomposição em frações parciais e do conceito de cancelamento telescópico.
Passo 2
Fazemos a fração parcial para o termo genérico
. Procuramos
e
tais que
Multiplicando por
, vem
Comparando coeficientes de
e constantes obtemos
e
. Assim,
Passo 3
Substituindo na soma parcial,
Escrevendo os primeiros termos:
Tudo cancela, restando apenas
Passo 4
Para a soma da série, fazemos
: