Use o critério da integral para dizer se a série \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{k \ln k} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{k \ln k}
converge ou diverge usando o critério da integral. O conteúdo é o teste da integral: se f é contínua, positiva e decrescente em [a,+\infty) e
\sum_{k=a}^{\infty} f(k)
é comparável à integral imprópria
\int_{a}^{+\infty} f(x)\,dx,
então ambas convergem ou divergem simultaneamente. Vamos definir a função adequada e aplicar esse teste.

Passo 2

Definimos
f(x) = \frac{1}{x \ln x},\quad x\ge2.
Verificamos que para x\ge2:
  1. f(x)>0 porque x>0 e \ln x>0.
  2. f é contínua em [2,+\infty) (exceto em x=1, mas começamos em 2).
  3. f é decrescente, pois
f'(x) = -\frac{1 + \ln x}{x^2 (\ln x)^2} <0 \quad\text{para }x>1.
Logo, as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x}\,dx.
Fazemos a substituição u = \ln x, de modo que du = \frac{dx}{x}. Assim, quando x=2 temos u=\ln2 e quando x\to+\infty temos u\to+\infty. A integral vira
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x}\,dx = \int_{\ln2}^{+\infty} \frac{1}{u}\,du = \Bigl[\ln|u|\Bigr]_{\ln2}^{+\infty} = \lim_{U\to+\infty} \ln U - \ln(\ln2).
Como \lim_{U\to+\infty}\ln U = +\infty, a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x}\,dx = +\infty,
a série
\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{k \ln k}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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