Use o critério da integral para dizer se a série
converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge usando o critério da integral. O conteúdo é o teste da integral: se
é contínua, positiva e decrescente em
e
é comparável à integral imprópria
então ambas convergem ou divergem simultaneamente. Vamos definir a função adequada e aplicar esse teste.
Passo 2
Definimos
Verificamos que para
:
-
porque e . -
é contínua em (exceto em , mas começamos em 2). -
é decrescente, pois
Logo, as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
, de modo que
. Assim, quando
temos
e quando
temos
. A integral vira
Como
, a integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.