O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação s=t^{2}-6 t+11, onde t é medido em segundos.
  1. Encontre a as velocidades médias sobre os seguintes intervalos: [3.5,4],[3.9,4].
  2. Encontre a velocidade instantânea quando t=4.
  • Velocidade média no intervalo [a, b] é dada por: v_{m}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}
  • Velocidade instantânea quando t=c é dada por: v=\lim _{t \rightarrow c} \frac{s(t)-s\text{(c)}}{t-c}

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento de uma partícula
s(t)=t^{2}-6t+11
e pede (1) as velocidades médias nos intervalos [3,5\,;4] e [3,9\,;4] usando
v_{m}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a},
e (2) a velocidade instantânea em t=4 definida por
v=\lim_{t\to4}\frac{s(t)-s(4)}{t-4},
o que equivale a calcular s'(4).

Passo 2

Calculamos primeiro os valores de s:
s(3,5)=(3,5)^{2}-6\cdot3,5+11=12,25-21+11=2,25,
s(4)=4^{2}-6\cdot4+11=16-24+11=3.
Logo a velocidade média em [3,5\,;4] é
v_{m}=\frac{s(4)-s(3,5)}{4-3,5}=\frac{3-2,25}{0,5}=\frac{0,75}{0,5}=1,5\\ \text{m/s}.

Passo 3

Agora para [3,9\,;4]:
s(3,9)=(3,9)^{2}-6\cdot3,9+11=15,21-23,4+11=2,81.
Então
v_{m}=\frac{s(4)-s(3,9)}{4-3,9}=\frac{3-2,81}{0,1}=\frac{0,19}{0,1}=1,9\\ \text{m/s}.

Passo 4

Para a velocidade instantânea usamos derivada de s:
s'(t)=2t-6.
Em t=4 temos
s'(4)=2\cdot4-6=8-6=2\\ \text{m/s}.

Resposta

Velocidade média em [3,5\,;4]: 1,5 m/s
Velocidade média em [3,9\,;4]: 1,9 m/s
Velocidade instantânea em t=4: 2 m/s

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