Seja f(x)=\sqrt{x+3 h(x)}, onde h(1)=5 e h^{\prime}(1)=4, encontre f^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \sqrt{x + 3\,h(x)}
e informa que h(1)=5 e h'(1)=4.
O conteúdo aqui é derivar uma composição de funções usando a regra da cadeia e a soma de funções.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x + 3\,h(x).
Então f(x) = \sqrt{u(x)} = [u(x)]^{1/2}. Pela regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x) = \frac{1}{2}[u(x)]^{-1/2}\,u'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Agora calculamos u'(x). Como u(x)=x+3h(x),
u'(x) = 1 + 3\,h'(x).

Passo 3

Avaliar em x=1:
u(1) = 1 + 3\,h(1) = 1 + 3\cdot 5 = 16, \quad u'(1) = 1 + 3\,h'(1) = 1 + 3\cdot 4 = 13.
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f'(1) = \frac{u'(1)}{2\sqrt{u(1)}} = \frac{13}{2\sqrt{16}} = \frac{13}{2\cdot 4} = \frac{13}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{8}

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