Use os critérios da razão ou da raiz e determine se as séries abaixo convergem
Passo 1
Temos a série infinita . O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas e vamos usar o critério da razão (pode-se também usar o da raiz, mas o da razão fica mais direto com o fatorial).
Passo 2
Vamos calcular a razão , onde ar = r!,2^rr^r.
Começamos escrevendo a razão entre termos consecutivos:
Agora tomamos o limite quando rtoinfty. Sabemos que limrtoinftyl(1+1/rr)^r = e, logo
L = limrtoinfty2(1+tfrac1r)^-r = 2,e^-1 = 2e
Passo 4
Como eapprox2,718, temos 2/eapprox0,736<1. Pelo critério da razão, se L<1 então a série converge absolutamente.
Portanto a série converge, já que o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1.
Resposta
A série converge absolutamente pelo critério da razão, pois o limite da razão entre termos consecutivos é 2/e<1.