Use os critérios da razão ou da raiz e determine se as séries abaixo convergem
sumr=1^+infty r!2^rr^r

Passo 1

Temos a série infinita sumr=1^+infty r!,2^rr^r. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas e vamos usar o critério da razão (pode-se também usar o da raiz, mas o da razão fica mais direto com o fatorial).

Passo 2

Vamos calcular a razão L = limrtoinfty |ar+1ar|, onde ar = r!,2^rr^r.
Começamos escrevendo a razão entre termos consecutivos:
ar+1ar = (r+1)!,2^r+1/(r+1)^r+1r!,2^r/r^r = (r+1),2,r^r(r+1)^r+1 = 2,r^r(r+1)^r = 2(rr+1)^r = 2(1+1r)^-r

Passo 3

Agora tomamos o limite quando rtoinfty. Sabemos que limrtoinftyl(1+1/rr)^r = e, logo
L = limrtoinfty2(1+tfrac1r)^-r = 2,e^-1 = 2e

Passo 4

Como eapprox2,718, temos 2/eapprox0,736<1. Pelo critério da razão, se L<1 então a série converge absolutamente.
Portanto a série converge, já que o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1.

Resposta

A série converge absolutamente pelo critério da razão, pois o limite da razão entre termos consecutivos é 2/e<1.

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