Use decomposição em frações parciais para calcular:
\int \frac{16 x+69}{x^{2}-x-12} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{16x + 69}{x^2 - x - 12}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Como o grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2), não precisamos fazer divisão polinomial: basta fatorar o denominador e separar a função racional em somas de frações mais simples.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador. Temos
x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3).
Isso sugere que podemos escrever
\frac{16x + 69}{x^2 - x - 12} = \frac{16x + 69}{(x-4)(x+3)}.

Passo 3

Postulamos a decomposição em frações parciais:
\frac{16x + 69}{(x-4)(x+3)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+3}.
Para determinar A e B, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+3} = \frac{A(x+3) + B(x-4)}{(x-4)(x+3)}.
Portanto, deve valer
A(x+3) + B(x-4) = 16x + 69.

Passo 4

Expandindo e comparando coeficientes em
A(x+3) + B(x-4) = (A + B)x + (3A - 4B),
queremos
\begin{cases} A + B = 16,\\\\ 3A - 4B = 69. \end{cases}
Da primeira equação, A = 16 - B. Substituindo na segunda:
3(16 - B) - 4B = 69 \quad\Longrightarrow\quad 48 - 3B - 4B = 69 \quad\Longrightarrow\quad -7B = 21 \quad\Longrightarrow\quad B = -3,
logo
A = 16 - (-3) = 19.

Passo 5

Com A=19 e B=-3, reescrevemos a integral:
\int \frac{16x + 69}{(x-4)(x+3)}\,dx = \int \Bigl(\frac{19}{x-4} - \frac{3}{x+3}\Bigr)\,dx = 19\int \frac{dx}{x-4} - 3\int \frac{dx}{x+3}.
Cada uma é uma primitiva de logaritmo:
\int \frac{dx}{x-4} = \ln\bigl|x-4\bigr| \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{x+3} = \ln\bigl|x+3\bigr|.

Passo 6

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
19\ln\bigl|x-4\bigr| - 3\ln\bigl|x+3\bigr| + C.

Resposta

19\ln\bigl|x-4\bigr| \;-\; 3\ln\bigl|x+3\bigr| + C

Exercícios relacionados