Use a Definição (3.5) para achar f^{\prime}(x). (b) Determine o domínio de f^{\prime}. (c) Escreva a equação da tangente ao gráfico de f no ponto P. (d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
f(x)=-5 x^{2}+8 x+2 ; P(-1,-11)

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=-5x^2+8x+2 e o ponto P(-1,-11). O objetivo é usar a definição de derivada para obter f'(x), determinar o domínio de f', achar a reta tangente ao gráfico de f em P e identificar onde a tangente é horizontal.

Passo 2

Para calcular f'(x) pela definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
avaliamos
f(x+h)=-5(x+h)^2+8(x+h)+2=-5x^2-10xh-5h^2+8x+8h+2.
Subtraindo f(x) e dividindo por h vem
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-10xh-5h^2+8h}{h}=-10x-5h+8.
Tomando h\to0, conclui-se
f'(x)=-10x+8.

Passo 3

Como f'(x)=-10x+8 é um polinômio, seu domínio é todo o conjunto dos números reais:
\mathrm{Dom}\,f'=\mathbb{R}.

Passo 4

A inclinação da reta tangente em P(-1,-11) é
m=f'(-1)=-10(-1)+8=18.
Usando a forma ponto-inclinação
y - y_0 = m(x - x_0)
vem
y + 11 = 18(x + 1)
e, isolando y,
y = 18x + 7.

Passo 5

A condição de tangente horizontal é f'(x)=0, ou seja
-10x+8=0\implies x=\tfrac{4}{5}.
O ponto correspondente é \bigl(\tfrac{4}{5},f(\tfrac{4}{5})\bigr). Calculando
f\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)=-5\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^2+8\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)+2=\tfrac{26}{5},
logo o ponto é \bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{26}{5}\bigr).

Resposta

(a) f'(x)=-10x+8
(b) \mathrm{Dom}\,f'=\mathbb{R}
(c) y=18x+7
(d) \bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{26}{5}\bigr)

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