Problema 5 Em cada item, determine a equação do plano
O plano \beta é perpendicular a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=2 y-3 \\\ z=-y+1\end{array}\right. e contém o ponto A=(0,4,7)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano \beta que é perpendicular à reta r e contém o ponto A=(0,4,7).
Conteúdo: equação de um plano na forma ponto–normal. Precisamos do vetor normal \mathbf{n} a partir da reta r e usar a forma
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.

Passo 2

Obtemos o vetor diretor de r\). Da reta \[r:\begin{cases} x=2\,y-3,\\\ z=-\,y+1, \end{cases}
podemos tomar (y=t], de onde
x=2t-3,\quad y=t,\quad z=-t+1.
Logo um vetor diretor é
\mathbf{d}=(2,1,-1).

Passo 3

Como \beta é perpendicular a r, seu vetor normal \mathbf{n} é igual a \mathbf{d}. Assim
\mathbf{n}=(2,1,-1).
Na forma ponto–normal:
(2,1,-1)\cdot\bigl((x,y,z)-(0,4,7)\bigr)=0.
Isso dá
2(x-0)+1(y-4)-1(z-7)=0
\iff 2x + y -4 - z +7 =0
\iff 2x + y - z +3 =0.

Resposta

2x + y - z +3 =0.

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