Use a definição para calcular os determinantes:
|ccccc5 & 0 & 0 & 0 & -3 0 & -1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & -1 & 0 -3 & 0 & 0 & 0 & 1|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 5times5 esparsa, com muitos zeros. O conteúdo aqui é cálculo de determinante usando expansão de Laplace (cofatores) e a propriedade de matrizes em bloco (block diagonal). Vamos precisar reconhecer um pivô isolado e depois ver que o menor resultante é bloco diagonal.

Passo 2

Observe a terceira linha de
A= 5 & 0 & 0 & 0 & -3 0 & -1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & -1 & 0 -3 & 0 & 0 & 0 & 1
ela tem só um elemento não-zero em (3,3), que vale 4. Pela expansão de Laplace ao longo da linha 3:
det(A) =4cdot(-1)^3+3det(M) =4det(M),
onde M é o menor 4times4 obtido ao eliminar a linha 3 e a coluna 3 de A.

Passo 3

O menor M fica
M= 5 & 0 & 0 & -3 0 & -1 & 2 & 0 0 & 2 & -1 & 0 -3 & 0 & 0 & 1
com linhas e colunas indexadas por 1,2,4,5. Note que não há interação entre os índices 1,5 e 2,4: todos os elementos de linha entre esses dois conjuntos são zero. Logo M é, até permutação simultânea de linhas e colunas, bloco diagonal com dois blocos 2times2.

Passo 4

Identificamos os blocos
B1=5 & -3-3 & 1 e B2=-1 & 22 & -1
Pelo fato de M ser bloco diagonal (até permutação igual em linhas e colunas, que não altera o determinante), vale
det(M)=det(B1),det(B2)
Calculamos
det(B1)=5cdot1-(-3)cdot(-3)=5-9=-4,
det(B2)=(-1)cdot(-1)-2cdot2 =1-4=-3
Portanto det(M)=(-4)cdot(-3)=12.

Passo 5

Voltando à expansão de Laplace,
det(A)=4det(M)=4cdot12=48

Resposta

48

Exercícios relacionados