Em cada caso:
A=[ccc1 & 0 & 4 2 & 1 & 3 0 & 1 & -5]
i) Determine as matrizes F e R escalonada reduzida, linha equivalente a A, tais que F cdot A=R.
ii) A é invertível? Justifique. Caso afirmativo determine a inversa.

Passo 1

O enunciado dá
A= 1 & 0 & 4 2 & 1 & 3 0 & 1 & -5
e pede (i) uma matriz F tal que Fcdot A seja a forma escalonada reduzida por linhas R, e (ii) verificar se A é invertível, calculando a inversa se for o caso.

Passo 2

Começamos aplicando operações elementares em A até obter a forma escalonada reduzida:
  • Subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 2:
    R2 R2-2,R1.
  • Em seguida, subtraímos a nova linha 2 da linha 3:
    R3 R3-R2.
Após a primeira operação obtemos
1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 1 & -5
e após a segunda
R = 1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0 ,
que já está na forma escalonada reduzida (pivôs iguais a 1 e zeros acima e abaixo).

Passo 3

Cada operação corresponde a uma matriz elementar. Definimos
E1= 1 & 0 & 0 -2& 1 & 0 0 & 0 & 1 , E2= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -1& 1 ,
onde E1 faz R2 R2-2R1 e E2 faz R3 R3-R2.
A matriz
F = E2,E1
satisfaz
F,A = R
Calculando o produto, obtemos
F = 1 & 0 & 0 -2& 1 & 0 2 & -1& 1

Passo 4

Para verificar se A é invertível, basta notar que em R há uma linha nula, logo rank(A)=2<3. Alternativamente,
det(A) =1cdotdet1&31&-5 +4cdotdet2&10&1 =-8+8=0
Como det(A)=0, A não é invertível e, portanto, não existe A^-1.

Resposta

F= 1 & 0 & 0 -2& 1 & 0 2 & -1& 1 ,
R= 1 & 0 & 4 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0 ,
e A não é invertível pois det(A)=0.

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