Para matriz dada determine todos os valores possíveis para o posto, de acordo com os valores do parâmetro k. A=[cccc1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1
e pede o posto rank(A) em função do parâmetro k. Vamos usar eliminação de Gauss para obter uma forma escalonada e identificar quantos pivôs aparecem.

Passo 2

Primeiro, zeramos a entrada (3,1) subtraindo a linha 1 da linha 3:
R3 R3 - R1
Isso leva a
1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & -2 & 1 & k-3 0 & 1 & 0 & -1

Passo 3

Agora usamos a linha 2 para zerar as entradas (3,2) e (4,2):
R3 R3 + 2,R2, R4 R4 - R2
O resultado é
1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & -1 & k+1 0 & 0 & 1 & -3

Passo 4

Multiplicamos a linha 3 por -1 para ter um pivô positivo e, em seguida, zeramos a entrada (4,3):
R3 -R3, R4 R4 - R3
Isso dá
1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & -(k+1) 0 & 0 & 0 & k-2

Passo 5

Agora está claro que há pivôs nas colunas 1, 2 e 3 para todo k. O quarto pivô, na posição (4,4), vale k-2.
  • Se kneq2, então k-2neq0 e aparecem 4 pivôs to rank(A)=4.
  • Se k=2, então k-2=0 e a última linha fica nula, sobrando 3 pivôs to rank(A)=3.

Resposta

Para a matriz dada:
rank(A)= 4, & kneq2, 3, & k=2

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