Encontre a solução do Problema de valor inicial.
cos x d yd x+y sen x=2 x cos ^2 x;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem, linear
cos xdydx+ysin x=2xcos^2x
com condição inicial y(pi/4)=-15raiz2/32. O conteúdo envolve EDO linear e fator integrante.

Passo 2

Divido a equação por cos x (assumindo cos xneq0) para colocá-la na forma padrão y'+P(x)y=Q(x):
dydx+ytan x=2xcos x .

Passo 3

Calculo o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integraltan x,dx=e^-ln|cos x|=1cos x.

Passo 4

Multiplico a EDO por mu(x)=sec x. O lado esquerdo fica:
sec xdydx+ysec xtan x=ddxl(ysec xr)
e o lado direito é 2x.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
ddx(ysec x)=2x
ysec x=integral2x,dx=x^2+C
Logo
$$
y=\cos x,(x^2+C)$$.

Passo 6

Aplico a condição inicial y(pi/4)=-15raiz2/32:
-15raiz2/32=cos(pi/4)l((pi/4)^2+Cr)=raiz22l(pi^216+Cr)
Multiplicando por 2/raiz2
pi^216+C=-1516 Rightarrow C=-15+pi^216 .

Passo 7

Substituo C na solução geral para obter a solução particular:
y(x)=cos xl(x^2-15+pi^216r) .

Resposta

y(x)=\cos x\Bigl(x2-\tfrac{15+\pi2}{16}\Bigr)

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