Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência: a) f(x)=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^2x e o intervalo onde ela converge. Vamos usar a definição de série de Maclaurin, que diz que qualquer função suficientemente derivável pode ser escrita como f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!x^n.

Passo 2

Precisamos calcular a n-ésima derivada de f(x). Como f(x)=e^2x, cada derivada traz um fator 2:
f^(n)(x)=2^n e^2x
Logo, avaliando em zero:
f^(n)(0)=2^n e^0=2^n
Substituindo na definição de Maclaurin, obtemos:
f(x)=sumn=0^infty 2^nn!x^n=sumn=0^infty (2x)^nn!

Passo 3

Para achar o intervalo de convergência, aplicamos o critério da razão em an=(2x)^nn!:
L=limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|2x|n+1=0
Como L=0<1 para todo x, a série converge para qualquer valor real. Portanto o intervalo de convergência é ( -infty,infty ).

Resposta

f(x)=sumn=0^infty (2x)^nn!, intervalo de convergência (-infty,infty)ê

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