Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência: a)
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de e o intervalo onde ela converge. Vamos usar a definição de série de Maclaurin, que diz que qualquer função suficientemente derivável pode ser escrita como .
Passo 2
Precisamos calcular a n-ésima derivada de . Como , cada derivada traz um fator :
Logo, avaliando em zero:
Substituindo na definição de Maclaurin, obtemos:
Passo 3
Para achar o intervalo de convergência, aplicamos o critério da razão em :
Como L=0<1 para todo x, a série converge para qualquer valor real. Portanto o intervalo de convergência é ( -infty,infty ).
Resposta
f(x)=sumn=0^infty (2x)^nn!, intervalo de convergência (-infty,infty)ê