Utilize coordenadas polares para determinar os limites (Dica: note que se (
) são as coordenadas polares do ponto
então
quando
, pois
:
Passo 1
O exercício quer que a gente determine o limite da função de duas variáveis \n$$ e{-1/(x2+y^2)} $$\nquando $(x,y)\to(0,0)$. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e a dica indica usar coordenadas polares, então vamos precisar lembrar da mudança $(x,y)\to(r,\theta)$ com $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, r\ge0\).
Passo 2
Passo 2: Substituir em coordenadas polares e obter expressão em função só de \r\
Passo 3
Usando $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ temos $x2+y2=r^2$. Então a função vira em bloco:
$$
e{-1/(x2+y2)}=e{-1/r^2}.
$$
e{-1/(x2+y2)}=e{-1/r^2}.
$$
Passo 4
Passo 3: Avaliar o limite quando \r\to0+\
À medida que $r\to0+$, o termo $-1/r^2$ vai a $-\infty$. E como $e^{t}\to0$ quando $t\to-\infty$, obtemos que:
À medida que $r\to0+$, o termo $-1/r^2$ vai a $-\infty$. E como $e^{t}\to0$ quando $t\to-\infty$, obtemos que:
$$
e{-1/r2}\to0.
$$
e{-1/r2}\to0.
$$
Resposta
0