Use a definição para encontrar as derivadas da função.
f(x)=5 x^2+x+8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a derivada da função $ f(x) = 5x^{2} + x + 8 $ usando a definição de derivada. Isso faz parte do cálculo diferencial, onde aprendemos como determinar a taxa de variação de uma função em qualquer ponto. Para isso, vamos usar a definição básica de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é o limite, quando $ h $ tende a zero, da diferença quociente:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(x + h) $. Substituindo $ x $ por $ x + h $ na função original:
f(x + h)
Vamos expandir isso:
x

Passo 4

Em seguida, vamos calcular $ f(x + h) - f(x) $:
f(x + h) - f(x)
Simplificando os termos semelhantes:
f(x + h) - f(x) = (5x^2 + 10xh + 5h^2 + x + h + 8) - (5x^2 + x + 8)

Passo 5

Agora, vamos dividir essa diferença por $ h $:
h

Passo 6

Por fim, vamos calcular o limite quando $ h $ tende a 0:
h

Resposta

A derivada da função $ f(x) = 5x^{2} + x + 8 $ é:
f(x) = 5x^2 + x + 8

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