Use a definição para encontrar as derivadas das seguintes funções:
g(r)=r^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função g(r) = r^2 usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicar passo a passo na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função g(r) no ponto r . A definição é:
g'(r) = limh to 0 g(r + h) - g(r)h
Essa fórmula nos diz como calcular a inclinação da tangente à curva da função g(r) no ponto r .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função g(r) = r^2 . Primeiro, substituímos g(r + h) e g(r) na fórmula:
g'(r) = limh to 0 (r + h)^2 - r^2h

Passo 4

Vamos expandir o termo (r + h)^2 :
(r + h)^2 = r^2 + 2rh + h^2
Então, substituindo de volta na expressão:
g'(r) = limh to 0 r^2 + 2rh + h^2 - r^2h

Passo 5

Simplificamos a expressão cancelando r^2 :
g'(r) = limh to 0 2rh + h^2h

Passo 6

Agora, podemos dividir cada termo do numerador por h :
g'(r) = limh to 0 (2r + h)

Passo 7

Por fim, aplicamos o limite quando h tende a 0:
g'(r) = 2r + 0 = 2r

Resposta

A derivada da função g(r) = r^2 é g'(r) = 2r .

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