Usando a definição, encontre as derivadas das funções abaixo no ponto x0 dado:
f(x)=tg(5 x), x0=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=tan(5x)
e pede a derivada de f no ponto x0=0.
O conteúdo aqui é a definição de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Pela definição, a derivada de f em x0 é
f'(x0) = limhto 0f(x0+h)-f(x0)h

Passo 3

Substituindo f(x)=tan(5x) e x0=0, temos
f'(0) = limhto 0tanl(5(0+h)r)-tan(5cdot0)h = limhto 0tan(5h)h

Passo 4

Para calcular
limhto 0tan(5h)h, escrevemos
tan(5h)h =5,tan(5h)5h
Como sabemos que
limuto 0tan(u)u=1,
basta tomar u=5h para concluir
limhto 0tan(5h)h =5cdot 1 =5

Resposta

f'(0) = 5

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