Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o triângulo de vértices
.
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Esse teorema é super útil porque transforma uma integral ao longo de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. No nosso caso, a curva
é um triângulo com vértices em
,
e
, orientado no sentido anti-horário. A integral que queremos calcular é:
Vamos precisar identificar as funções
e
que multiplcam
e
respectivamente, e depois aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa integral. Comparando com a forma geral da integral de linha:
Temos que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que:
Onde
é a região delimitada pela curva
. Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Substituindo as derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 7
Então, a integral dupla fica bem simples:
Isso significa que a integral dupla é simplesmente a área da região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 8
Vamos calcular a área do triângulo. A base do triângulo vai de
a
, então tem comprimento 4. A altura vai de
a
, então tem comprimento 8. A fórmula da área do triângulo é:
Resposta
A integral vale 16.