Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
ointC-ln (1+y) d x+x y1+y d y
onde C é o triângulo de vértices (0,0),(4,0),(0,8).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Esse teorema é super útil porque transforma uma integral ao longo de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. No nosso caso, a curva C é um triângulo com vértices em (0,0) , (4,0) e (0,8) , orientado no sentido anti-horário. A integral que queremos calcular é:
ointC -ln(1 + y) , dx + x y1 + y , dy
Vamos precisar identificar as funções P(x,y) e Q(x,y) que multiplcam dx e dy respectivamente, e depois aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar P(x,y) e Q(x,y) na nossa integral. Comparando com a forma geral da integral de linha:
ointC P , dx + Q , dy
Temos que:
P(x,y) = -ln(1 + y)
Q(x,y) = x y1 + y

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde D é a região delimitada pela curva C . Então, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y .

Passo 4

Vamos calcular partial Qpartial x :
Q(x,y) = x y1 + y
Derivando em relação a x :
partial Qpartial x = y1 + y

Passo 5

Agora, vamos calcular partial Ppartial y :
P(x,y) = -ln(1 + y)
Derivando em relação a y :
partial Ppartial y = -11 + y

Passo 6

Substituindo as derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y1 + y - ( -11 + y ) = y + 11 + y = 1

Passo 7

Então, a integral dupla fica bem simples:
integral duplaD 1 , dA
Isso significa que a integral dupla é simplesmente a área da região D , que é o triângulo com vértices em (0,0) , (4,0) e (0,8) .

Passo 8

Vamos calcular a área do triângulo. A base do triângulo vai de (0,0) a (4,0) , então tem comprimento 4. A altura vai de (0,0) a (0,8) , então tem comprimento 8. A fórmula da área do triângulo é:
Área = 12 times base times a<ura = 12 times 4 times 8 = 16 Á

Resposta

A integral vale 16.

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