Use a definição para encontrar as derivadas das seguintes funções:
h(t)=raizt-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função h(t) = raizt - 1 e precisamos encontrar a derivada dela usando a definição de derivada. Isso envolve entender como a função muda em relação a t . Para resolver isso, vamos usar o conceito básico de limite que define a derivada.

Passo 2

Primeiro, lembra que a derivada de uma função h(t) em relação a t é definida como:
h'(t) = limDe<a t to 0 h(t + De<a t) - h(t)De<a t
Isso significa que vamos calcular o limite da diferença das funções dividida por De<a t quando De<a t se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos substituir h(t) na fórmula. Nossa função é h(t) = raizt - 1 , então:
h(t + De<a t) = raiz(t + De<a t) - 1 = raizt - 1 + De<a t
Agora, substituindo na definição:
h'(t) = limDe<a t to 0 raizt - 1 + De<a t - raizt - 1De<a t

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos eliminar a raiz do numerador multiplicando e dividindo pela conjugada. A conjugada de raiza - raizb é raiza + raizb . Vamos fazer isso:
h'(t) = limDe<a t to 0 raizt - 1 + De<a t - raizt - 1De<a t cdot raizt - 1 + De<a t + raizt - 1raizt - 1 + De<a t + raizt - 1

Passo 5

Multiplicando os numeradores e denominadores:
h'(t) = limDe<a t to 0 (t - 1 + De<a t) - (t - 1)De<a t cdot (raizt - 1 + De<a t + raizt - 1)
Simplificando o numerador:
(t - 1 + De<a t) - (t - 1) = De<a t
Então:
h'(t) = limDe<a t to 0 De<a tDe<a t cdot (raizt - 1 + De<a t + raizt - 1) = limDe<a t to 0 1raizt - 1 + De<a t + raizt - 1

Passo 6

Agora, podemos substituir De<a t por 0 no limite:
h'(t) = 1raizt - 1 + 0 + raizt - 1 = 12raizt - 1

Resposta

A derivada da função h(t) = raizt - 1 é:
h'(t) = 12raizt - 1

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