Use a definição para encontrar as derivadas das seguintes funções:
w(s)=1s^2

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a derivada da função w(s) = 1s^2 usando a definição de derivada. Isso está dentro do estudo de Cálculo, especificamente no tópico de derivadas. Pra resolver, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicar ela passo a passo nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função f(x) em um ponto x é o limite:
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Isso basicamente nos diz a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função w(s) , temos:
w'(s) = limh to 0 w(s + h) - w(s)h
Substituindo w(s) por 1s^2 :
w'(s) = limh to 0 1(s + h)^2 - 1s^2h

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, encontramos um denominador comum para as frações:
1(s + h)^2 - 1s^2 = s^2 - (s + h)^2s^2(s + h)^2
Expandindo (s + h)^2 :
(s + h)^2 = s^2 + 2sh + h^2
Então:
s^2 - (s^2 + 2sh + h^2)s^2(s + h)^2 = -2sh - h^2s^2(s + h)^2

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
w'(s) = limh to 0 -2sh - h^2h cdot s^2(s + h)^2
Podemos separar o h do numerador:
w'(s) = limh to 0 h(-2s - h)h cdot s^2(s + h)^2
Cancelando o h no numerador e denominador:
w'(s) = limh to 0 -2s - hs^2(s + h)^2

Passo 6

Agora que o limite está mais simples, podemos substituir h por 0:
w'(s) = -2ss^2 cdot s^2 = -2ss^4 = -2s^3

Resposta

A derivada de w(s) = 1s^2 é w'(s) = -2s^3 .

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