Use a definição de " f(x) tende a l quando x tende a ( \pm) \infty "para calcular os seguinte limites: \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-1}{5 x^{2}}, \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-1}{5 x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{5x^2} e \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^2-1}{5x^2}
usando a definição de limite quando x tende a +\infty e quando x tende a -\infty. Vamos usar a técnica de fatorar x^2 e depois aplicar a definição epsilônica de limite no infinito.
se x>M temos \bigl|f(x)-\tfrac15\bigr|<\varepsilon. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{5x^2}=\frac15.
Passo 5
Definição de limite no infinito (caso x\to-\infty): diz que
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell
se, para todo \varepsilon>0, existe N>0 tal que, se x<-N, então |f(x)-\ell|<\varepsilon.
Passo 6
O cálculo de \bigl|f(x)-\tfrac15\bigr| continua sendo \tfrac{1}{5x^2}, e para \tfrac{1}{5x^2}<\varepsilon precisamos apenas |x|> \sqrt{1/(5\varepsilon)}. Assim, tomando
N = \sqrt{\frac{1}{5\varepsilon}},
se x<-N então \bigl|f(x)-\tfrac15\bigr|<\varepsilon. Logo