Use a definição de " f(x) tende a l quando x tende a ( \pm) \infty "para calcular os seguinte limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-1}{5 x^{2}}, \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-1}{5 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{5x^2} e \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^2-1}{5x^2}
usando a definição de limite quando x tende a +\infty e quando x tende a -\infty. Vamos usar a técnica de fatorar x^2 e depois aplicar a definição epsilônica de limite no infinito.

Passo 2

Escrevendo a função de forma conveniente, temos
\frac{x^2-1}{5x^2} =\frac{x^2}{5x^2}-\frac{1}{5x^2} =\frac15-\frac{1}{5x^2}.
Isso sugere que a parte variável -\tfrac{1}{5x^2} tende a 0 quando |x|\to\infty, e o candidato a limite é
\ell = \frac15.

Passo 3

Definição de limite no infinito (caso x\to+\infty): diz que
\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell
se, para todo \varepsilon>0, existe M>0 tal que, se x>M, então |f(x)-\ell|<\varepsilon.

Passo 4

Aplicando ao nosso f(x)=\tfrac{x^2-1}{5x^2} e \ell=\tfrac15, temos
\biggl|\,\frac{x^2-1}{5x^2}-\frac15\biggr| =\biggl|\,-\frac{1}{5x^2}\biggr| =\frac{1}{5x^2}.
Queremos \frac{1}{5x^2}<\varepsilon. Basta garantir
x^2>\frac{1}{5\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad x>\sqrt{\frac{1}{5\varepsilon}}.
Então, escolhendo
M = \sqrt{\frac{1}{5\varepsilon}},
se x>M temos \bigl|f(x)-\tfrac15\bigr|<\varepsilon. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{5x^2}=\frac15.

Passo 5

Definição de limite no infinito (caso x\to-\infty): diz que
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell
se, para todo \varepsilon>0, existe N>0 tal que, se x<-N, então |f(x)-\ell|<\varepsilon.

Passo 6

O cálculo de \bigl|f(x)-\tfrac15\bigr| continua sendo \tfrac{1}{5x^2}, e para \tfrac{1}{5x^2}<\varepsilon precisamos apenas |x|> \sqrt{1/(5\varepsilon)}. Assim, tomando
N = \sqrt{\frac{1}{5\varepsilon}},
se x<-N então \bigl|f(x)-\tfrac15\bigr|<\varepsilon. Logo
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2-1}{5x^2}=\frac15.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{5x^2}=\frac15 \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^2-1}{5x^2}=\frac15

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