Use a definição de integral baseada no limite da soma de Riemann, tomando os pontos amostrais como as extremidades direitas, para calcular as integrais definidas a seguir.
integral0^2(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^2(2x+1),dx
usando a definição de integral como limite de somas de Riemann com pontos amostrais nas extremidades direitas. O conteúdo de matéria é a definição de integral definida via Riemann, e vamos precisar:
  1. particionar o intervalo [0,2] em n subintervalos iguais;
  2. definir De<a x, os pontos de amostragem xi (extremidades direitas) e montar a soma de Riemann Sn;
  3. calcular Sn usando fórmulas de somatório e depois tomar limntoinftySn.

Passo 2

Particionamos [0,2] em n subintervalos de largura
De<a x = 2-0n = 2n
O ponto amostral à direita no i-ésimo subintervalo é
xi = 0 + i,De<a x = 2in, i=1,2,dots,n
Em cada xi, avaliamos
f(xi) = 2l(xir)+1 = 2cdot2in + 1 = 4in + 1

Passo 3

A soma de Riemann com amostragem à direita é
Sn = sumi=1^n f(xi),De<a x = sumi=1^nl(4in+1r)2n = 2nsumi=1^nl(4in+1r)
Separamos o somatório:
Sn = 2nl(4nsumi=1^ni + sumi=1^n1r) = 2nl(4ncdotn(n+1)2 + nr)
Como sumi=1^n i=tfracn(n+1)2 e sumi=1^n1=n, temos
4ncdotn(n+1)2 = 2(n+1),
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Sn = 2nl(2(n+1) + nr) = 2n(3n+2) = 6 + 4n

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty,
integral0^2(2x+1),dx = limntoinftySn = limntoinftyl(6 + tfrac4nr) = 6

Resposta

6

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