Use a definição de integral baseada no limite da soma de Riemann, tomando os pontos amostrais como as extremidades direitas, para calcular as integrais definidas a seguir.
integral0^1(3 x-x^3) d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral definida
integral0^1l(3x - x^3r),dx
usando a definição de integral como limite da soma de Riemann com pontos amostrais nas extremidades direitas. O conteúdo é soma de Riemann para f(x)=3x - x^3.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,1] em n subintervalos de largura
De<a x = 1-0n = 1n,
e tomamos os pontos de amostragem pelas extremidades direitas:
xi = in, i=1,2,dots,n
A soma de Riemann é
Sn = sumi=1^n f(xi),De<a x = sumi=1^n l(3in - l(inr)^3r)1n

Passo 3

Escrevendo Sn em termos de somas conhecidas, temos
Sn = 1nsumi=1^nl(3in - i^3n^3r) = sumi=1^nl(3in^2 - i^3n^4r) = 3n^2sumi=1^n i ;-;1n^4sumi=1^n i^3

Passo 4

Usamos as fórmulas
sumi=1^n i = n(n+1)2, sumi=1^n i^3 = l(n(n+1)2r)^2
Substituindo em Sn, obtém-se
Sn = 3n^2cdotn(n+1)2 -1n^4cdotn^2(n+1)^24 = 3(n+1)2n - (n+1)^24n^2

Passo 5

Calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftySn = limntoinftyl(3(n+1)2n - (n+1)^24n^2r) = 32 - 14 = 54
Pela definição de integral,
integral0^1l(3x - x^3r),dx = 54

Resposta

54

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