Use a definição por limite de derivadas parciais para calcular partial fpartial x e partial fpartial y :
f(x, y)=2 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=2x+3y usando a definição por limite. O conteúdo é derivada parcial, e vamos precisar lembrar que
Cada derivada parcial de f em relação a uma variável é definida como o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero, mantendo a outra variável fixa.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x(x,y), usamos a definição
partial fpartial x(x,y)=limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h
Aqui
f(x+h,y)=2(x+h)+3y=2x+2h+3y
e já sabemos que f(x,y)=2x+3y. Logo,
f(x+h,y)-f(x,y)h=(2x+2h+3y)-(2x+3y)h=2hh=2
Fazendo hto0, o limite é 2.

Passo 3

Para calcular partial fpartial y(x,y), usamos a definição
partial fpartial y(x,y)=limhto0f(x,y+h)-f(x,y)h
Aqui
f(x,y+h)=2x+3(y+h)=2x+3y+3h
e f(x,y)=2x+3y. Logo,
f(x,y+h)-f(x,y)h=(2x+3y+3h)-(2x+3y)h=3hh=3
Fazendo hto0, o limite é 3.

Resposta

partial fpartial x(x,y)=2 e partial fpartial y(x,y)=3

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