Use a definição de limite para provar os seguintes itens:
\lim _{t \rightarrow 1} f(t)=(-2,3), onde f(t)=(1-3 t, 1+2 t)

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{t\to 1} f(t)=(-2,3),
onde a função é dada por
f(t)=(1-3t,\;1+2t).
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é t\in\mathbb{R}, a imagem f(t) é um vetor em \mathbb{R}^2, e o ponto candidato para o limite quando t\to 1 é o vetor (-2,3). O objetivo é mostrar, para todo \varepsilon>0, a existência de \delta>0 tal que sempre que 0<|t-1|<\delta valha \|f(t)-(-2,3)\|<\varepsilon.

Passo 2

Vou lembrar a definição de limite para funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2: dizer que
\lim_{t\to 1} f(t)=(-2,3)
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|t-1|<\delta, tem-se
\|f(t)-(-2,3)\|<\varepsilon.
Aqui \|\cdot\| é a norma euclidiana em \mathbb{R}^2. Explico: se v=(v_1,v_2) então
\|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2},
e \|f(t)-(-2,3)\| mede a distância euclidiana entre o ponto f(t) e o ponto (-2,3).

Passo 3

Calculo a diferença f(t)-(-2,3) componente a componente:
f(t)-(-2,3)=(1-3t-(-2),\;1+2t-3).
Faço as simplificações:
1-3t-(-2)=1-3t+2=3-3t=-3(t-1),
1+2t-3=2t-2=2(t-1).
Portanto
f(t)-(-2,3)=\bigl(-3(t-1),\;2(t-1)\bigr).

Passo 4

Agora calculo a norma euclidiana dessa diferença. Pela definição de norma,
\|f(t)-(-2,3)\|=\sqrt{\bigl(-3(t-1)\bigr)^2+\bigl(2(t-1)\bigr)^2}.
Vamos desenvolver:
\bigl(-3(t-1)\bigr)^2=9(t-1)^2,\qquad \bigl(2(t-1)\bigr)^2=4(t-1)^2.
Somando,
9(t-1)^2+4(t-1)^2=13(t-1)^2.
Logo
\|f(t)-(-2,3)\|=\sqrt{13(t-1)^2}=\sqrt{13}\,|t-1|.
Observe que apareceu o valor absoluto |t-1| porque a raiz quadrada de (t-1)^2 é |t-1|.

Passo 5

Essa igualdade é a chave: \|f(t)-(-2,3)\|=\sqrt{13}\,|t-1|. Para cumprir a condição \|f(t)-(-2,3)\|<\varepsilon basta garantir
\sqrt{13}\,|t-1|<\varepsilon,
ou seja
|t-1|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{13}}.
Portanto, para dado \varepsilon>0 pode-se escolher
\delta=\frac{\varepsilon}{\sqrt{13}}.
Então, sempre que 0<|t-1|<\delta teremos
\|f(t)-(-2,3)\|=\sqrt{13}\,|t-1|<\sqrt{13}\,\delta=\varepsilon.

Passo 6

Conclui-se que para todo \varepsilon>0 existe \delta=\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{13}}>0 tal que 0<|t-1|<\delta implica \|f(t)-(-2,3)\|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de limite, portanto está provado que
\lim_{t\to 1} f(t)=(-2,3).

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to 1} f(t)=(-2,3)

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