Use a definição de limite para provar os seguintes itens:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
onde a função é dada por
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é
, a imagem
é um vetor em
, e o ponto candidato para o limite quando
é o vetor
. O objetivo é mostrar, para todo
, a existência de
tal que sempre que
valha
.
Passo 2
Vou lembrar a definição de limite para funções
: dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, tem-se
Aqui
é a norma euclidiana em
. Explico: se
então
e
mede a distância euclidiana entre o ponto
e o ponto
.
Passo 3
Calculo a diferença
componente a componente:
Faço as simplificações:
Portanto
Passo 4
Agora calculo a norma euclidiana dessa diferença. Pela definição de norma,
Vamos desenvolver:
Somando,
Logo
Observe que apareceu o valor absoluto
porque a raiz quadrada de
é
.
Passo 5
Essa igualdade é a chave:
. Para cumprir a condição
basta garantir
ou seja
Portanto, para dado
pode-se escolher
Então, sempre que
teremos
Passo 6
Conclui-se que para todo
existe
tal que
implica
. Isso é exatamente a definição de limite, portanto está provado que