Calcule
e
para a função
dada nos itens a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule
e
para a função vetorial
As informações relevantes que temos:
- A função está dada componente a componente; isso significa que a derivada vetorial é obtida derivando cada componente separadamente (quando existir).
- A segunda componente exige
, logo a função (pelo domínio dessa componente) está definida em . - A terceira componente pode ser escrita como
; atenção: a derivabilidade dessa componente precisa ser verificada em (possível problema de derivabilidade).
Neste exercício vou calcular as derivadas das três componentes para valores deonde cada derivada existe (ou seja, considerar e, quando necessário, ).
Passo 2
Derivada da primeira componente
.
Ferramenta usada (aula rápida): regra da cadeia. Se
é uma função e
, então
Aqui
e
. Temos
e
. Aplicando:
Passo 3
Derivada da segunda componente
.
Ferramenta usada (aula rápida): derivada do logaritmo natural + regra da cadeia. Se
então
. Aqui
. Logo:
válido quando
(no nosso domínio consideramos
, portanto denominador positivo).
Passo 4
Derivada da terceira componente
.
Ferramenta usada (aula rápida): regra do poder (power rule) para expoentes racionais: se
com
constante, então para
Aplicando com
obtemos, para
,
Observação importante sobre
: a função
não possui derivada finita em
(os diferenciais laterais tendem a
), portanto a expressão acima vale apenas para
.
Passo 5
Juntando as derivadas das componentes temos a derivada primeira da função vetorial (válida para
e
por causa da terceira componente):
Passo 6
Agora vamos para as segundas derivadas. Começo pela primeira componente derivada já obtida:
. Para
usamos a regra do produto, porque
é produto de
por
.
Ferramenta usada (aula rápida): regra do produto. Se
com
e
conhecidos, então
Aqui
com
e
com
(já usado antes). Aplicando:
Passo 7
Segunda componente: partimos de
. Para derivar essa fração usamos a regra do quociente.
Ferramenta usada (aula rápida): regra do quociente. Se
então
Aqui
e
. Calculamos
e
. Aplicando:
Agora simplificamos o numerador:
Portanto
válido onde
(no nosso domínio
está ok).
Passo 8
Segunda derivada da terceira componente. Partimos de
(válido para
). Aplicamos novamente a regra do poder:
Multiplicando pelo fator
, obtemos, para
,
Novamente lembrar que em
não há derivada finita, então esta fórmula vale apenas para
.
Passo 9
Juntando as segundas derivadas das componentes, para
e
, obtemos o vetor
Resposta
(estas fórmulas valem para
e
; a terceira componente não é diferenciável em
).