Calcule \frac{d f}{d t} e \frac{d^{2} f}{d t^{2}} para a função f dada nos itens a seguir:
f(t)=\left(e^{t^{2}}, \ln \left(t^{3}+1\right), \sqrt[3]{t^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule \dfrac{df}{dt} e \dfrac{d^{2}f}{dt^{2}} para a função vetorial
f(t)=\bigl(e^{t^{2}},\;\ln\bigl(t^{3}+1\bigr),\;\sqrt[3]{t^{2}}\bigr).
As informações relevantes que temos:
  • A função está dada componente a componente; isso significa que a derivada vetorial é obtida derivando cada componente separadamente (quando existir).
  • A segunda componente exige t^{3}+1>0, logo a função (pelo domínio dessa componente) está definida em t>-1.
  • A terceira componente pode ser escrita como (t^{2})^{1/3}=t^{2/3}; atenção: a derivabilidade dessa componente precisa ser verificada em t=0 (possível problema de derivabilidade).
    Neste exercício vou calcular as derivadas das três componentes para valores de t onde cada derivada existe (ou seja, considerar t>-1 e, quando necessário, t\neq0).

Passo 2

Derivada da primeira componente f_{1}(t)=e^{t^{2}}.
Ferramenta usada (aula rápida): regra da cadeia. Se u(t) é uma função e F(u)=e^{u}, então
\frac{d}{dt}F(u(t))=F'(u(t))\cdot u'(t).
Aqui u(t)=t^{2} e F(u)=e^{u}. Temos F'(u)=e^{u} e u'(t)=2t. Aplicando:
\frac{d}{dt}e^{t^{2}}=e^{t^{2}}\cdot 2t=2t\,e^{t^{2}}.

Passo 3

Derivada da segunda componente f_{2}(t)=\ln\bigl(t^{3}+1\bigr).
Ferramenta usada (aula rápida): derivada do logaritmo natural + regra da cadeia. Se u(t)=t^{3}+1 então \dfrac{d}{dt}\ln(u(t))=\dfrac{u'(t)}{u(t)}. Aqui u'(t)=3t^{2}. Logo:
\frac{d}{dt}\ln\bigl(t^{3}+1\bigr)=\frac{3t^{2}}{t^{3}+1},
válido quando t^{3}+1\neq0 (no nosso domínio consideramos t>-1, portanto denominador positivo).

Passo 4

Derivada da terceira componente f_{3}(t)=\sqrt[3]{t^{2}}=(t^{2})^{1/3}=t^{2/3}.
Ferramenta usada (aula rápida): regra do poder (power rule) para expoentes racionais: se g(t)=t^{\alpha} com \alpha constante, então para t\neq0
\frac{d}{dt}t^{\alpha}=\alpha\,t^{\alpha-1}.
Aplicando com \alpha=\tfrac{2}{3} obtemos, para t\neq0,
\frac{d}{dt}t^{2/3}=\frac{2}{3}\,t^{-1/3}.
Observação importante sobre t=0: a função t^{2/3} não possui derivada finita em t=0 (os diferenciais laterais tendem a \pm\infty), portanto a expressão acima vale apenas para t\neq0.

Passo 5

Juntando as derivadas das componentes temos a derivada primeira da função vetorial (válida para t>-1 e t\neq0 por causa da terceira componente):
\frac{df}{dt}=\Bigl(2t\,e^{t^{2}},\;\frac{3t^{2}}{t^{3}+1},\;\frac{2}{3}\,t^{-1/3}\Bigr).

Passo 6

Agora vamos para as segundas derivadas. Começo pela primeira componente derivada já obtida: f_{1}'(t)=2t\,e^{t^{2}}. Para \dfrac{d^{2}}{dt^{2}}e^{t^{2}} usamos a regra do produto, porque f_{1}'(t) é produto de 2t por e^{t^{2}}.
Ferramenta usada (aula rápida): regra do produto. Se p(t)q(t) com p'(t) e q'(t) conhecidos, então
\frac{d}{dt}\bigl(p(t)q(t)\bigr)=p'(t)q(t)+p(t)q'(t).
Aqui p(t)=2t com p'(t)=2 e q(t)=e^{t^{2}} com q'(t)=2t\,e^{t^{2}} (já usado antes). Aplicando:
\frac{d^{2}}{dt^{2}} \bigl(e^{t^{2}}\bigr)=\frac{d}{dt}\bigl(2t\,e^{t^{2}}\bigr)=2\,e^{t^{2}}+2t\cdot(2t\,e^{t^{2}})=\bigl(4t^{2}+2\bigr)e^{t^{2}}.

Passo 7

Segunda componente: partimos de f_{2}'(t)=\dfrac{3t^{2}}{t^{3}+1}. Para derivar essa fração usamos a regra do quociente.
Ferramenta usada (aula rápida): regra do quociente. Se r(t)=\dfrac{g(t)}{h(t)} então
r'(t)=\frac{g'(t)h(t)-g(t)h'(t)}{h(t)^{2}}.
Aqui g(t)=3t^{2} e h(t)=t^{3}+1. Calculamos g'(t)=6t e h'(t)=3t^{2}. Aplicando:
\frac{d^{2}}{dt^{2}}\ln\bigl(t^{3}+1\bigr)=\frac{6t\,(t^{3}+1)-3t^{2}\cdot 3t^{2}}{(t^{3}+1)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador:
6t(t^{3}+1)-9t^{4}=6t^{4}+6t-9t^{4}=-3t^{4}+6t=3t(2-t^{3}).
Portanto
\frac{d^{2}}{dt^{2}}\ln\bigl(t^{3}+1\bigr)=\frac{3t(2-t^{3})}{(t^{3}+1)^{2}},
válido onde t^{3}+1\neq0 (no nosso domínio t>-1 está ok).

Passo 8

Segunda derivada da terceira componente. Partimos de f_{3}'(t)=\dfrac{2}{3}t^{-1/3} (válido para t\neq0). Aplicamos novamente a regra do poder:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-1/3}\bigr)=-\frac{1}{3}t^{-4/3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{2}{3}, obtemos, para t\neq0,
\frac{d^{2}}{dt^{2}}t^{2/3}=-\frac{2}{9}\,t^{-4/3}.
Novamente lembrar que em t=0 não há derivada finita, então esta fórmula vale apenas para t\neq0.

Passo 9

Juntando as segundas derivadas das componentes, para t>-1 e t\neq0, obtemos o vetor
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=\Bigl((4t^{2}+2)\,e^{t^{2}},\;\frac{3t(2-t^{3})}{(t^{3}+1)^{2}},\;-\frac{2}{9}\,t^{-4/3}\Bigr).

Resposta

\frac{df}{dt}=\Bigl(2t\,e^{t^{2}},\;\frac{3t^{2}}{t^{3}+1},\;\frac{2}{3}\,t^{-1/3}\Bigr)
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=\Bigl((4t^{2}+2)\,e^{t^{2}},\;\frac{3t(2-t^{3})}{(t^{3}+1)^{2}},\;-\frac{2}{9}\,t^{-4/3}\Bigr)
(estas fórmulas valem para t>-1 e t\neq0; a terceira componente não é diferenciável em t=0).

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