Use a definição de logarítmo para encontrar x.
g) \log _{2}\left(\frac{1}{2}\right)=x

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \log_{2}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=x e pede para encontrar o valor numérico de x. Informações relevantes: a base do logaritmo é 2 e o argumento é \tfrac{1}{2}. Queremos determinar qual número x satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de logaritmo, explicando passo a passo: por definição,
\log_{a}(b)=y
significa que
a^{y}=b.
Aqui a é a base (deve ser a>0 e a\neq1) e b>0. Essa definição diz que o logaritmo responde à pergunta “qual expoente devemos dar à base a para obter b?”.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, a igualdade \log_{2}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=x é equivalente à equação exponencial
2^{x}=\tfrac{1}{2}.
Ou seja: estamos procurando o expoente x tal que 2 elevado a x resulte em \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora usamos propriedades de potências: lembramos que a potência com expoente negativo dá o recíproco,
a^{-1}=\tfrac{1}{a}.
Aplicando com a=2, temos
2^{-1}=\tfrac{1}{2}.
Portanto podemos reescrever o lado direito da equação exponencial como uma potência de base 2:
2^{x}=2^{-1}.

Passo 5

Quando temos a mesma base 2 (com 2>0 e 2\neq1), se 2^{x}=2^{-1} então os expoentes são iguais. Ou seja,
x=-1.
(Uma justificativa simples: a função t\mapsto 2^{t} é injetora, então não pode dar o mesmo valor para expoentes diferentes.)
Resumo didático para a prova: converta o logaritmo para a forma exponencial usando a definição \log_{a}(b)=y \iff a^{y}=b. Se o argumento for uma fração tipo \tfrac{1}{a^{k}}, reconheça como potência negativa a^{-k} e iguale expoentes quando as bases coincidirem.

Resposta

-1

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