Use a definição de módulo para reescrever as funções abaixo e a seguir esboce seu gráfico.
f(x)=\left|9-x^{2}\right|

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Reescrever a função dada usando a definição do módulo.
  • Esboçar o gráfico de f(x)=\left|9-x^{2}\right|.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\left|9-x^{2}\right|.
  • É preciso aplicar a definição de módulo (valor absoluto) para transformar essa expressão em uma função por partes e, em seguida, desenhar/entender o gráfico.

Passo 2

Lembrete importante: a definição do valor absoluto usada aqui é a seguinte. Para qualquer expressão u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u \ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u < 0. \end{cases}
Isso significa que, para reescrever \left|9-x^{2}\right|\], a gente deve identificar onde \(9-x^{2} é não negativo e onde é negativo, e aplicar as duas fórmulas separadamente.]

Passo 3

Vamos estudar o sinal de u(x)=9-x^{2}. Queremos resolver a inequação
9-x^{2}\ge 0.
Reescrevendo:
9-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 9.
Podemos escrever isso como produto:
9-x^{2}=(3-x)(3+x).
Usando o método dos sinais (ou reconhecendo que x^{2}\le 9 significa |x|\le 3), concluímos:
9-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -3\le x\le 3.
E, portanto,
9-x^{2}<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<-3 \text{ ou } x>3.

Passo 4

Agora aplicamos a definição do módulo com base no sinal de 9-x^{2}\). Assim: \[f(x)=\left|9-x^{2}\right|= \begin{cases} 9-x^{2}, & \text{se } -3\le x\le 3,\\[4pt] -(9-x^{2})=x^{2}-9, & \text{se } x< -3 \text{ ou } x>3. \end{cases}
Também podemos escrever de forma compacta usando (|x|]:
f(x)= \begin{cases} 9-x^{2}, & \text{se } |x|\le 3,\\[4pt] x^{2}-9, & \text{se } |x|>3. \end{cases}]

Passo 5

Vamos calcular alguns pontos-chave para ajudar no esboço:
  • f(0)=9-0=9.
  • f(1)=9-1=8.
  • f(2)=9-4=5.
  • f(3)=9-9=0.
  • f(4)=4^{2}-9=7 (aqui usamos a segunda expressão, porque 4>3).
  • Simetricamente, f(-1)=8, f(-2)=5, f(-3)=0, f(-4)=7.
Esses pontos mostram como traçar o gráfico com precisão razoável à mão.

Passo 6

Interpretação do formato do gráfico (passo a passo para desenhar):
  • Para -3\le x\le 3: f(x)=9-x^{2}. Isso é uma parábola voltada para baixo (concavidade para baixo) com vértice em (0,9) e que atinge 0 em x=\pm 3.
  • Para x>3 e x<-3: f(x)=x^{2}-9. Isso é uma parábola voltada para cima (concavidade para cima) que toma valor 0 em x=\pm 3 e cresce para +\infty quando |x|\to\infty.
Portanto, o gráfico é formado por:
  • Um “trecho” de parábola invertida entre x=-3 e x=3, com pico em (0,9).
  • Dois “braços” de parábola voltados para cima, que partem de (3,0) e (-3,0) e sobem para +\infty quando |x| aumenta.

Passo 7

Propriedades importantes para lembrar na prova (úteis para justificar o esboço):
  • Continuidade: f\) é contínua em todo \(\mathbb{R}\) porque é valor absoluto de um polinômio (polinômios são contínuos e |·| preserva continuidade). Verificando em \(x=3\): \[\lim_{x\to 3^-}f(x)=9-3^{2}=0,\qquad \lim_{x\to 3^+}f(x)=3^{2}-9=0,
portanto a função é contínua em x=3 (mesmo para x=-3).
  • Derivabilidade: em cada região aberta onde a expressão é polinomial a função é diferenciável. As derivadas são
f'(x)=\begin{cases} -2x, & \text{se } -3<x<3,\\[4pt] 2x, & \text{se } x<-3 \text{ ou } x>3. \end{cases}
Nos pontos x=\pm 3\] as derivadas laterais não coincidem (por exemplo, em \(x=3: f'(3^-)= -2\cdot 3=-6 e f'(3^+)=2\cdot 3=6), logo f não é diferenciável em x=\pm 3. Na prova pode ser interessante apontar isso se pedirem continuidade/diferenciabilidade.]

Passo 8

Instruções práticas para esboçar (faça assim na prova, sem preocupações):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos (-3,0), (0,9) e (3,0).
  3. Ligue (-3,0) a (3,0) desenhando a parábola invertida y=9-x^{2} entre esses pontos (vértice em (0,9)).
  4. A partir de (3,0) desenhe a parábola y=x^{2}-9 para x>3 subindo para cima; simetricamente desenhe a mesma curva a partir de (-3,0) para x<-3.
  5. Verifique os pontos de amostra (por exemplo x=\pm 1,\pm 2,\pm 4) para garantir a curvatura correta.
Resumo visual (palavras): o gráfico forma uma “colina” invertida centrada em x=0 entre -3 e 3, com duas “vales” que se unem em x=\pm 3 e dois ramos que sobem para o infinito fora desse intervalo.

Resposta

f(x)=\left|9-x^{2}\right|= \begin{cases} 9-x^{2}, & \text{se } -3\le x\le 3,\\[4pt] x^{2}-9, & \text{se } x< -3 \text{ ou } x>3, \end{cases}
Esboço: parábola invertida y=9-x^{2} em [-3,3] com vértice (0,9) e dois ramos de parábola y=x^{2}-9 para x<-3 e x>3 que partem de (\pm3,0) e sobem para +\infty.]

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