Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Determinar o domínio de
. - Construir (descrever) o gráfico de
e, em seguida, identificar como estão relacionados os gráficos das funções “do mesmo tipo” (isto é, funções recíprocas e suas transformações).
A informação fornecida é apenas a fórmula da função:
Passo 2
O que é domínio e como achar o domínio aqui.
- Domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). - Na expressão
temos uma divisão por (pois ). Uma divisão por zero não é permitida. - Portanto, todos os reais estão permitidos exceto
.
Logo o domínio é
Passo 3
Determinar a imagem (contradomínio efetivo / range) — é útil para desenhar o gráfico.
- Se
e , então teríamos , o que é impossível (não existe com ). - Para qualquer
existe tal que . Portanto todos os reais diferentes de zero são atingidos.
Assim a imagem (range) é
Passo 4
Assíntotas e comportamento nos extremos — conceitos e cálculos.
- Verticalmente: verificar o que acontece quando
. Como tende a quando e a quando , a reta é uma assíntota vertical. - Horizontalmente: verificar
. Como quando , a reta é assíntota horizontal.
Portanto as assíntotas são as retas
(vertical) e
(horizontal).
Passo 5
Derivada, monotonicidade e concavidade — para entender a forma exata dos ramos.
-
Derivada de
: Comopara todo , tem-se para todo .
Isso significa queé estritamente decrescente em cada intervalo de definição: e . -
Segunda derivada (concavidade):Assim, para
temos (concavidade para cima) e para temos (concavidade para baixo). Isso explica a curvatura dos ramos.
Passo 6
Propriedades de simetria — facilitação do esboço.
- Verificar
: Logo é uma função ímpar. Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação à origem: o ramo no primeiro quadrante corresponde ao ramo no terceiro quadrante por rotação de (ou reflexão pela origem).
Passo 7
Como construir o gráfico passo a passo (receita para a prova).
- Marcar as assíntotas: a reta vertical
e a reta horizontal . - Plotar alguns pontos para entender a forma:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: (mostra que próximo de sobe muito). - Para
: ; para : (simetria pela origem).
- Para
- Ligar os pontos desenhando dois ramos que se aproximam das assíntotas:
- Para
o ramo fica no primeiro quadrante, decrescente, aproximando-se de quando e subindo para quando . - Para
o ramo fica no terceiro quadrante, decrescente (mais negativo conforme se aproxima de ), aproximando-se de quando e indo a quando .
- Para
- Resultado: uma hipérbole equilátera (chamada hipérbole retangular) com assíntotas coordenadas, ramos nos 1.º e 3.º quadrantes e simetria em relação à origem.
Dica rápida para prova: desenhe assíntotas, calcule
e os correspondentes negativos; ligue suavemente lembrando-se da monotonicidade e das assíntotas.
Passo 8
Identificação de como os gráficos das funções “do mesmo tipo” estão relacionados — família das recíprocas e transformações básicas.
Considere a família geral de transformações da função recíproca:
onde
são constantes reais.
- O parâmetro
faz uma dilatação vertical por e, se , reflete em relação ao eixo . Se , mantém o mesmo sentido do ramo em . - O parâmetro
desloca o gráfico horizontalmente: a assíntota vertical passa de para . - O parâmetro
desloca verticalmente: a assíntota horizontal passa de para .
Assim, todos esses gráficos são hipérboles com as mesmas propriedades qualitativas (dois ramos, uma assíntota vertical e uma horizontal, simetria em relação ao ponto
quando
troca sinal produz reflexões) e diferem por escala e translação. Exemplos rápidos:
-
é um “esticamento” vertical de (ramos mais próximos do eixo e mais distantes do eixo para pequenos ). -
é reflexão de em relação ao eixo (ou rotação de seguida de reflexão). -
desloca o gráfico de uma unidade para a direita; agora a assíntota vertical é . -
eleva o gráfico uma unidade; a assíntota horizontal passa para .
Conclusão prática: sabendo o gráfico de
, obtém-se o gráfico de qualquer função da forma
aplicando reflexão/escala e deslocamentos.
Passo 9
Resumo visual e notas finais (como lembrar na hora do teste).
- Gráfico de
: hipérbole com ramos em 1.º e 3.º quadrantes, assíntotas e , simetria em relação à origem. - Domínio e imagem:
. - Para outras recíprocas, usar
para obter escala e translação; as assíntotas e a forma mudam de acordo com e , e a orientação/magnificação com .
Boa! Se precisar, posso desenhar um esboço passo a passo com pontos numerados para praticar desenhar rápido na prova.
Resposta
O gráfico é a hipérbole retangular
Gráficos de funções do mesmo tipo (