Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
f(x)=x^{-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
  • Determinar o domínio de f.
  • Construir (descrever) o gráfico de f e, em seguida, identificar como estão relacionados os gráficos das funções “do mesmo tipo” (isto é, funções recíprocas e suas transformações).
A informação fornecida é apenas a fórmula da função:
f(x)=x^{-1}.

Passo 2

O que é domínio e como achar o domínio aqui.
  • Domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida).
  • Na expressão f(x)=x^{-1} temos uma divisão por x (pois x^{-1}=\dfrac{1}{x}). Uma divisão por zero não é permitida.
  • Portanto, todos os reais estão permitidos exceto x=0.
Logo o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Determinar a imagem (contradomínio efetivo / range) — é útil para desenhar o gráfico.
  • Se y=f(x)=\dfrac{1}{x} e y=0, então teríamos 0=\dfrac{1}{x}, o que é impossível (não existe x com 1/x=0).
  • Para qualquer y\neq0 existe x=\dfrac{1}{y} tal que f(x)=y. Portanto todos os reais diferentes de zero são atingidos.
Assim a imagem (range) é
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Assíntotas e comportamento nos extremos — conceitos e cálculos.
  • Verticalmente: verificar o que acontece quando x\to0. Como \dfrac{1}{x} tende a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to0^-, a reta x=0 é uma assíntota vertical. \lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty.
  • Horizontalmente: verificar x\to\pm\infty. Como \dfrac{1}{x}\to0 quando x\to\pm\infty, a reta y=0 é assíntota horizontal. \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0^+,\qquad \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0^-.
Portanto as assíntotas são as retas x=0 (vertical) e y=0 (horizontal).

Passo 5

Derivada, monotonicidade e concavidade — para entender a forma exata dos ramos.
  • Derivada de f:
    f'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    Como x^{2}>0 para todo x\neq0, tem-se f'(x)<0 para todo x\in\mathrm{Dom}(f).
    Isso significa que f é estritamente decrescente em cada intervalo de definição: (-\infty,0) e (0,+\infty).
  • Segunda derivada (concavidade):
    f''(x)=\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right)=2x^{-3}=\dfrac{2}{x^{3}}.
    Assim, para x>0 temos f''(x)>0 (concavidade para cima) e para x<0 temos f''(x)<0 (concavidade para baixo). Isso explica a curvatura dos ramos.

Passo 6

Propriedades de simetria — facilitação do esboço.
  • Verificar f(-x): f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x).Logo f é uma função ímpar. Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação à origem: o ramo no primeiro quadrante corresponde ao ramo no terceiro quadrante por rotação de 180^\circ (ou reflexão pela origem).

Passo 7

Como construir o gráfico passo a passo (receita para a prova).
  1. Marcar as assíntotas: a reta vertical x=0 e a reta horizontal y=0.
  2. Plotar alguns pontos para entender a forma:
    • Para x=1: f(1)=1.
    • Para x=2: f(2)=\tfrac{1}{2}.
    • Para x=\tfrac{1}{2}: f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=2.
    • Para x=0{,}1: f(0{,}1)=10 (mostra que próximo de 0^+ sobe muito).
    • Para x=-1: f(-1)=-1; para x=-2: f(-2)=-\tfrac{1}{2} (simetria pela origem).
  3. Ligar os pontos desenhando dois ramos que se aproximam das assíntotas:
    • Para x>0 o ramo fica no primeiro quadrante, decrescente, aproximando-se de y=0 quando x\to+\infty e subindo para +\infty quando x\to0^+.
    • Para x<0 o ramo fica no terceiro quadrante, decrescente (mais negativo conforme se aproxima de 0^-), aproximando-se de y=0 quando x\to-\infty e indo a -\infty quando x\to0^-.
  4. Resultado: uma hipérbole equilátera (chamada hipérbole retangular) com assíntotas coordenadas, ramos nos 1.º e 3.º quadrantes e simetria em relação à origem.
Dica rápida para prova: desenhe assíntotas, calcule f(1),f(2),f(\tfrac12) e os correspondentes negativos; ligue suavemente lembrando-se da monotonicidade e das assíntotas.

Passo 8

Identificação de como os gráficos das funções “do mesmo tipo” estão relacionados — família das recíprocas e transformações básicas.
Considere a família geral de transformações da função recíproca:
g(x)=\dfrac{a}{x-h}+k,
onde a,h,k são constantes reais.
  • O parâmetro a faz uma dilatação vertical por |a| e, se a<0, reflete em relação ao eixo x. Se a>0, mantém o mesmo sentido do ramo em x>0.
  • O parâmetro h desloca o gráfico horizontalmente: a assíntota vertical passa de x=0 para x=h.
  • O parâmetro k desloca verticalmente: a assíntota horizontal passa de y=0 para y=k.
Assim, todos esses gráficos são hipérboles com as mesmas propriedades qualitativas (dois ramos, uma assíntota vertical e uma horizontal, simetria em relação ao ponto (h,k) quando a troca sinal produz reflexões) e diferem por escala e translação. Exemplos rápidos:
  • y=\dfrac{2}{x} é um “esticamento” vertical de y=\dfrac{1}{x} (ramos mais próximos do eixo y e mais distantes do eixo x para pequenos x>0).
  • y=-\dfrac{1}{x} é reflexão de y=\dfrac{1}{x} em relação ao eixo x (ou rotação de 180^\circ seguida de reflexão).
  • y=\dfrac{1}{x-1} desloca o gráfico de 1/x uma unidade para a direita; agora a assíntota vertical é x=1.
  • y=\dfrac{1}{x}+2 eleva o gráfico uma unidade; a assíntota horizontal passa para y=2.
Conclusão prática: sabendo o gráfico de y=\dfrac{1}{x}, obtém-se o gráfico de qualquer função da forma \dfrac{a}{x-h}+k aplicando reflexão/escala e deslocamentos.

Passo 9

Resumo visual e notas finais (como lembrar na hora do teste).
  • Gráfico de f(x)=x^{-1}: hipérbole com ramos em 1.º e 3.º quadrantes, assíntotas x=0 e y=0, simetria em relação à origem.
  • Domínio e imagem: \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Para outras recíprocas, usar a,h,k para obter escala e translação; as assíntotas e a forma mudam de acordo com h e k, e a orientação/magnificação com a.
Boa! Se precisar, posso desenhar um esboço passo a passo com pontos numerados para praticar desenhar rápido na prova.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}
O gráfico é a hipérbole retangular y=\dfrac{1}{x} com ramos nos 1.º e 3.º quadrantes, assíntotas x=0 e y=0, simetria em relação à origem; é estritamente decrescente em (-\infty,0) e em (0,+\infty).
Gráficos de funções do mesmo tipo ( g(x)=\dfrac{a}{x-h}+k) são obtidos a partir de y=\dfrac{1}{x} por escala/reflexão vertical (parâmetro a) e translações horizontais/verticais (parâmetros h,k); as assíntotas movem-se para x=h e y=k.

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