Use os resultados dos Problemas 29 e 30 e calcule integralC(6 z+4) d z, onde C é:
O segmento de reta de 1+i a 2+3 i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC (6z + 4),dz, em que C é o segmento de reta de z1 = 1 + i até z2 = 2 + 3i. O conteúdo envolvido é integração de funções analíticas em variável complexa, onde usamos a técnica de antiderivadas.

Passo 2

Como 6z + 4 é um polinômio em z, sua antiderivada F(z) satisfaz F'(z) = 6z + 4. Integrando, obtemos:
F(z) = integral (6z + 4),dz = 3z^2 + 4z + C,
o termo constante C cancela no cálculo da integral de linha.

Passo 3

Agora avalio F em z2 = 2 + 3i:
F(2+3i) = 3(2+3i)^2 + 4(2+3i)
Calculemos passo a passo:
(2+3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i,
então
F(2+3i) = 3(-5 + 12i) + 8 + 12i = -15 + 36i + 8 + 12i = -7 + 48i

Passo 4

Em seguida, avalio F em z1 = 1 + i e faço a diferença:
F(1+i) = 3(1+i)^2 + 4(1+i)
Aqui (1+i)^2 = 1 + 2i -1 = 2i, logo
F(1+i) = 3cdot 2i + 4 + 4i = 6i + 4 + 4i = 4 + 10i
Por fim,
integralC (6z + 4),dz = F(z2) - F(z1) = (-7 + 48i) - (4 + 10i) = -11 + 38i

Resposta

-11 + 38i

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