Use a Definição 4.1 para obter mathscr{L}{f(t)}.
f(t)=\left\{\begin{array}{rr}t, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t<1,\\\\ 1, & t\ge1, \end{cases}
usando a definição
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Vamos dividir a integral em dois trechos conforme o apoio de f(t).

Passo 2

Escrevemos
\mathscr{L}\{f(t)\}(s) =\int_{0}^{1}e^{-st}\,t\,dt +\int_{1}^{\infty}e^{-st}\,1\,dt.

Passo 3

Calculemos \displaystyle\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt por partes. Tome
u=t,\quad dv=e^{-st}dt\quad\Longrightarrow\quad du=dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Então
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt =\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} +\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}dt =-\frac{e^{-s}}{s} +\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1}.
Logo
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt =-\frac{e^{-s}}{s} +\frac{1}{s}\Bigl(-\frac{e^{-s}}{s}+\frac{1}{s}\Bigr) =\frac{1}{s^{2}}-\frac{s+1}{s^{2}}e^{-s}.

Passo 4

Agora calculemos \displaystyle\int_{1}^{\infty}e^{-st}dt. Temos
\int_{1}^{\infty}e^{-st}dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{1}^{\infty} =0-\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-s}\Bigr) =\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
\mathscr{L}\{f(t)\}(s) =\Bigl(\frac{1}{s^{2}}-\frac{s+1}{s^{2}}e^{-s}\Bigr) +\frac{e^{-s}}{s} =\frac{1}{s^{2}} +e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{s+1}{s^{2}}\Bigr).
Reescrevendo \displaystyle\frac{1}{s}=\frac{s}{s^{2}} e simplificando, obtemos
\mathscr{L}\{f(t)\}(s) =\frac{1}{s^{2}}-\,\frac{e^{-s}}{s^{2}} =\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.

Resposta

\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.

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