Use a Definição 4.1 para obter mathscr{L}{f(t)}.
f(t)=\left\{\begin{array}{lr}4, & 0 \leq t<2 \\\\ 0, & t \geq 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
\displaystyle f(t)=\begin{cases}4, &0\le t<2,\\\ 0,&t\ge2,\end{cases}
e pede a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}.
Para isso vamos usar a Definição 4.1:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.

Passo 2

Como f(t)=0 para t\ge2, basta integrar de 0 a 2. Logo,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt =\int_{0}^{2}4\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Calculando a integral:
\int_{0}^{2}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr).
Multiplicando por 4, obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\} =4\cdot\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr) =\frac{4}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr).

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{4}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr).}

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