Use a Definição 4.1 para obter mathscr{L}{f(t)}\). \(f(t)= \begin{cases}-1, & t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)= \begin{cases} -1, & t<1,\\\\ 1, & t\ge1, \end{cases}
pela Definição 4.1, ou seja,
\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.
O conteúdo é a aplicação direta da definição de transformada de Laplace, usando integração por partes de forma implícita (no cálculo de integrais exponenciais) e a divisão do domínio em duas regiões.

Passo 2

Escrevemos a integral em duas partes, separando nos pontos de quebra da função em t=1:
\mathscr{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{1}(-1)e^{-st}\,dt +\int_{1}^{\infty}(1)e^{-st}\,dt.

Passo 3

Calculamos a primeira integral. Como
\int e^{-st}\,dt=-\frac{1}{s}e^{-st},
temos
\int_{0}^{1}(-1)e^{-st}\,dt =-\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} =-\Bigl(-\frac{e^{-s}-1}{s}\Bigr) =\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 4

Agora a segunda integral:
\int_{1}^{\infty}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{1}^{\infty} =0-\Bigl(-\frac{e^{-s}}{s}\Bigr) =\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 5

Somando os resultados das duas partes:
\mathscr{L}\{f(t)\} =\frac{1-e^{-s}}{s}+\frac{e^{-s}}{s} =\frac{1-e^{-s}+e^{-s}}{s} =\frac{1+ (e^{-s}-e^{-s})-e^{-s}}{s} =\frac{2e^{-s}-1}{s}.

Resposta

\boxed{\mathscr{L}\{f(t)\}=\frac{2e^{-s}-1}{s},\quad \Re(s)>0.}

Exercícios relacionados