Seja P_{3}(\mathbb{R})=\left\{a t^{3}+b t^{2}+c t+d: a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}. Verifique se B=\left\{t^{3}+1, t^{2}+t, t, 1\right\} é base de P_{3}(\mathbb{R}). Se sim, encontre as coordenadas de q(t)=3 t^{3}+2 t^{2}-1 nesta base.
Passo 1
O enunciado dá:
O espaço vetorial P_{3}(\mathbb{R})=\{a t^{3}+b t^{2}+c t+d : a,b,c,d\in\mathbb{R}\}.
O conjunto B=\{\,t^{3}+1,\;t^{2}+t,\;t,\;1\,\}.
O polinômio q(t)=3t^{3}+2t^{2}-1.
O que é pedido:
Verificar se B é uma base de P_{3}(\mathbb{R}).
Se for base, encontrar as coordenadas de q(t) na base B.
Informações relevantes fornecidas:
B contém quatro elementos.
Um elemento genérico de P_{3}(\mathbb{R}) tem coeficientes para t^{3},t^{2},t,1.
Passo 2
Conceitos e estratégia (explicados devagarinho):
A dimensão de P_{3}(\mathbb{R}) é 4 (os monômios \,t^{3},t^{2},t,1 formam uma base canônica).
Teorema útil: num espaço vetorial de dimensão n, um conjunto com n vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (ou equivalentemente, se gerar o espaço). Portanto, para provar que B é base basta mostrar que os quatro polinômios de B são linearmente independentes.
Definição de independência linear: vetores v_1,\dots,v_k são linearmente independentes se a única solução do sistema \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. No caso de polinômios, “igual a zero” significa polinômio nulo (todos os coeficientes iguais a zero). Vamos aplicar isso escrevendo uma combinação linear igual a zero e igualando coeficientes dos monômios.
Passo 3
Escrever a combinação linear nula e igualar coeficientes:
Considere escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R} tais que
Portanto a única solução é \alpha=\beta=\gamma=\delta=0. Isso significa que os quatro polinômios de B são linearmente independentes. Como B tem quatro vetores e \dim P_{3}(\mathbb{R})=4, segue que B gera P_{3}(\mathbb{R}) e, portanto, é uma base.
Passo 5
Encontrar as coordenadas de q(t)=3t^{3}+2t^{2}-1\) na base \(B\):
Procuramos escalares \(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\) tais que
\[c_{1}(t^{3}+1)+c_{2}(t^{2}+t)+c_{3}t+c_{4}\cdot 1 = 3t^{3}+2t^{2}-1.