Seja P_{3}(\mathbb{R})=\left\{a t^{3}+b t^{2}+c t+d: a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}. Verifique se B=\left\{t^{3}+1, t^{2}+t, t, 1\right\} é base de P_{3}(\mathbb{R}). Se sim, encontre as coordenadas de q(t)=3 t^{3}+2 t^{2}-1 nesta base.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial P_{3}(\mathbb{R})=\{a t^{3}+b t^{2}+c t+d : a,b,c,d\in\mathbb{R}\}.
  • O conjunto B=\{\,t^{3}+1,\;t^{2}+t,\;t,\;1\,\}.
  • O polinômio q(t)=3t^{3}+2t^{2}-1.
O que é pedido:
  1. Verificar se B é uma base de P_{3}(\mathbb{R}).
  2. Se for base, encontrar as coordenadas de q(t) na base B.
Informações relevantes fornecidas:
  • B contém quatro elementos.
  • Um elemento genérico de P_{3}(\mathbb{R}) tem coeficientes para t^{3},t^{2},t,1.

Passo 2

Conceitos e estratégia (explicados devagarinho):
  • A dimensão de P_{3}(\mathbb{R}) é 4 (os monômios \,t^{3},t^{2},t,1 formam uma base canônica).
  • Teorema útil: num espaço vetorial de dimensão n, um conjunto com n vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (ou equivalentemente, se gerar o espaço). Portanto, para provar que B é base basta mostrar que os quatro polinômios de B são linearmente independentes.
  • Definição de independência linear: vetores v_1,\dots,v_k são linearmente independentes se a única solução do sistema \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. No caso de polinômios, “igual a zero” significa polinômio nulo (todos os coeficientes iguais a zero). Vamos aplicar isso escrevendo uma combinação linear igual a zero e igualando coeficientes dos monômios.

Passo 3

Escrever a combinação linear nula e igualar coeficientes:
Considere escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R} tais que
\alpha (t^{3}+1)+\beta (t^{2}+t)+\gamma t+\delta\cdot 1=0.
Expandindo e agrupando por potências de t obtemos o polinômio
\alpha t^{3} + \beta t^{2} + (\beta+\gamma) t + (\alpha+\delta)=0.
Para que esse polinômio seja o polinômio nulo, todos os coeficientes devem ser zero. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha = 0,\\[4pt] \beta = 0,\\[4pt] \beta+\gamma = 0,\\[4pt] \alpha+\delta = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema e concluir independência:
  • Da primeira equação \alpha=0.
  • Da segunda equação \beta=0.
  • Da terceira, com \beta=0 vem \gamma=0.
  • Da quarta, com \alpha=0 vem \delta=0.
Portanto a única solução é \alpha=\beta=\gamma=\delta=0. Isso significa que os quatro polinômios de B são linearmente independentes. Como B tem quatro vetores e \dim P_{3}(\mathbb{R})=4, segue que B gera P_{3}(\mathbb{R}) e, portanto, é uma base.

Passo 5

Encontrar as coordenadas de q(t)=3t^{3}+2t^{2}-1\) na base \(B\): Procuramos escalares \(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\) tais que \[c_{1}(t^{3}+1)+c_{2}(t^{2}+t)+c_{3}t+c_{4}\cdot 1 = 3t^{3}+2t^{2}-1.
Expandindo o lado esquerdo obtemos
c_{1}t^{3} + c_{2}t^{2} + (c_{2}+c_{3})t + (c_{1}+c_{4}).
Igualando coeficientes com o polinômio à direita, obtemos o sistema:
\begin{cases} c_{1} = 3,\\[4pt] c_{2} = 2,\\[4pt] c_{2}+c_{3} = 0,\\[4pt] c_{1}+c_{4} = -1. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da primeira: c_{1}=3\]. - Da segunda: \(c_{2}=2.
    - Da terceira: c_{3} = -c_{2} = -2.
    - Da quarta: c_{4} = -1 - c_{1} = -1 - 3 = -4.
Logo as coordenadas de q em relação à base B, na ordem dos vetores de B, são
(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}) = (3,\,2,\,-2,\,-4).]

Resposta

Sim, B é base de P_{3}(\mathbb{R}).\nAs coordenadas de q(t) na base B são (3,\,2,\,-2,\,-4).

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