Relacione os quatro primeiros termos e, se possível, determine o limite de cada uma das sequências.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) relacionar (ou seja, escrever) os quatro primeiros termos da sequência dada e (2) determinar, se possível, o limite da sequência quando
tende a infinito. A sequência fornecida é
e assumimos
variando pelos inteiros naturais começando em
. Informações relevantes: a fórmula geral de um termo é
, e precisamos dos termos para
e do comportamento quando
.
Passo 2
Calcular
. Substituímos
em
:
Explicação rápida: só pluguei
e fiz as contas básicas.
Passo 3
Calcular
. Substituímos
:
Outra conta simples:
.
Passo 4
Calcular
. Substituímos
:
Se quiser em decimal:
.
Passo 5
Calcular
. Substituímos
:
Em decimal aproximado
(período
).
Passo 6
Observando os quatro primeiros termos obtidos, temos a sequência inicial:
Percebe-se uma queda nos valores (de
para
para
para
), o que sugere que a sequência está se aproximando de um número menor que
. Agora vamos formalizar o limite.
Passo 7
Estratégia para achar o limite: uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pelo termo de maior ordem em
(aqui é
). Isso simplifica a expressão e mostra o comportamento quando
cresce muito. Aplicando:
Agora usamos o fato de que
quando
. Pela propriedade dos limites (se o numerador e o denominador têm limites finitos e o limite do denominador não é zero, podemos formar o quociente dos limites), tem-se:
Portanto a sequência tende a
.
Passo 8
Uma verificação alternativa e bem direta: calcule a diferença entre
e
para ver que essa diferença vai para zero:
Aqui usei operações algébricas elementares para colocar em uma única fração. Note que
para todo
e que
quando
. Isso mostra duas coisas úteis: (i)
para todo
, e (ii) a diferença para
tende a zero, logo
. É uma confirmação direta do passo anterior.
Passo 9
Resumo do raciocínio final: calculamos explicitamente os primeiros quatro termos, vimos que a sequência decresce nos primeiros termos e, dividindo por
ou examinando
, mostramos que a distância até
tende a zero. Logo a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
Primeiros quatro termos:
.
Limite: .
Limite: