Relacione os quatro primeiros termos e, se possível, determine o limite de cada uma das sequências.
\left\{\frac{n+1}{2 n-1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) relacionar (ou seja, escrever) os quatro primeiros termos da sequência dada e (2) determinar, se possível, o limite da sequência quando n tende a infinito. A sequência fornecida é
\left\{ \frac{n+1}{2n-1} \right\},
e assumimos n variando pelos inteiros naturais começando em n=1. Informações relevantes: a fórmula geral de um termo é a_n=\dfrac{n+1}{2n-1}, e precisamos dos termos para n=1,2,3,4 e do comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Calcular a_1. Substituímos n=1 em a_n=\dfrac{n+1}{2n-1}:
a_1=\frac{1+1}{2\cdot1-1}=\frac{2}{1}=2.
Explicação rápida: só pluguei n=1 e fiz as contas básicas.

Passo 3

Calcular a_2. Substituímos n=2:
a_2=\frac{2+1}{2\cdot2-1}=\frac{3}{3}=1.
Outra conta simples: 3/3=1.

Passo 4

Calcular a_3. Substituímos n=3:
a_3=\frac{3+1}{2\cdot3-1}=\frac{4}{5}.
Se quiser em decimal: \dfrac{4}{5}=0,8.

Passo 5

Calcular a_4. Substituímos n=4:
a_4=\frac{4+1}{2\cdot4-1}=\frac{5}{7}.
Em decimal aproximado \dfrac{5}{7}\approx0,714285\ldots (período 714285).

Passo 6

Observando os quatro primeiros termos obtidos, temos a sequência inicial:
2,\;1,\;\frac{4}{5},\;\frac{5}{7},\;\dots
Percebe-se uma queda nos valores (de 2 para 1 para 0,8 para 0,714\ldots), o que sugere que a sequência está se aproximando de um número menor que 1. Agora vamos formalizar o limite.

Passo 7

Estratégia para achar o limite: uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pelo termo de maior ordem em n (aqui é n). Isso simplifica a expressão e mostra o comportamento quando n cresce muito. Aplicando:
\frac{n+1}{2n-1}=\frac{n\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{n\!\left(2-\dfrac{1}{n}\right)}=\frac{1+\dfrac{1}{n}}{2-\dfrac{1}{n}}.
Agora usamos o fato de que \dfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty. Pela propriedade dos limites (se o numerador e o denominador têm limites finitos e o limite do denominador não é zero, podemos formar o quociente dos limites), tem-se:
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{n}}{2-\dfrac{1}{n}}=\frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2}.
Portanto a sequência tende a \dfrac{1}{2}.

Passo 8

Uma verificação alternativa e bem direta: calcule a diferença entre a_n e \dfrac{1}{2} para ver que essa diferença vai para zero:
a_n-\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2n-1}-\frac{1}{2} =\frac{2(n+1)-(2n-1)}{2(2n-1)} =\frac{3}{4n-2}.
Aqui usei operações algébricas elementares para colocar em uma única fração. Note que \dfrac{3}{4n-2}>0 para todo n\ge1 e que \dfrac{3}{4n-2}\to0 quando n\to\infty. Isso mostra duas coisas úteis: (i) a_n>\dfrac{1}{2} para todo n, e (ii) a diferença para \dfrac{1}{2} tende a zero, logo a_n\to\dfrac{1}{2}. É uma confirmação direta do passo anterior.

Passo 9

Resumo do raciocínio final: calculamos explicitamente os primeiros quatro termos, vimos que a sequência decresce nos primeiros termos e, dividindo por n ou examinando a_n-\dfrac{1}{2}, mostramos que a distância até \dfrac{1}{2} tende a zero. Logo a sequência converge e seu limite é \dfrac{1}{2}.

Resposta

Primeiros quatro termos: 2,\;1,\;\dfrac{4}{5},\;\dfrac{5}{7}.
Limite: \dfrac{1}{2}.

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