Use a definição de série de Taylor para encontrar os primeiros quatro termos não nulos da série para f(x) centrada no valor dado de a.
f(x)=ln x, a=1

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os primeiros quatro termos não nulos da série de Taylor para a função centrada em . Isso significa que vamos expandir em uma série de potências ao redor de . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de no ponto e usar a fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição da série de Taylor para uma função f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + cdots centrada em :
Nosso objetivo é encontrar os primeiros quatro termos não nulos dessa série para em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x) = ln x e avaliá-las em f(1) = ln 1 = 0 :
  1. Função original:
f'(x) = 1x
f'(1) = 11 = 1
  1. Primeira derivada:
f''(x) = -1x^2
f''(1) = -11^2 = -1
  1. Segunda derivada:
f'''(x) = 2x^3
f'''(1) = 21^3 = 2
  1. Terceira derivada:
f''''(x) = -6x^4
f''''(1) = -61^4 = -6
  1. Quarta derivada:

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
f(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)2!(x - 1)^2 + f'''(1)3!(x - 1)^3 + f''''(1)4!(x - 1)^4 + cdots
Substituindo os valores que calculamos:
ln x = 0 + 1 cdot (x - 1) + -12 cdot (x - 1)^2 + 26 cdot (x - 1)^3 + -624 cdot (x - 1)^4 + cdots

Passo 5

Simplificando os coeficientes:
ln x = (x - 1) - 12(x - 1)^2 + 13(x - 1)^3 - 14(x - 1)^4 + cdots

Resposta

Os primeiros quatro termos não nulos da série de Taylor para ln x = (x - 1) - 12(x - 1)^2 + 13(x - 1)^3 - 14(x - 1)^4 + cdots centrada em são:

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