Use a definição de série de Taylor para encontrar os primeiros quatro termos não nulos da série para
centrada no valor dado de
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os primeiros quatro termos não nulos da série de Taylor para a função
centrada em
. Isso significa que vamos expandir
em uma série de potências ao redor de
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
no ponto
e usar a fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Nosso objetivo é encontrar os primeiros quatro termos não nulos dessa série para
em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
- Função original:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Simplificando os coeficientes:
Resposta
Os primeiros quatro termos não nulos da série de Taylor para
centrada em
são: