Um sistema de tempo discreto representado pela seguinte equação:
y[n]-2 x[n]+0,5 x[n-1]=0
Determine:
a) A representação deste sistema por dia blocos.
b) O esboço de y[n], considerando:
x[n]=u(n+1)-u(n-1) .
Passo 1
O enunciado fornece a equação do sistema e pede duas coisas:
(a) representar o sistema por blocos;
(b) esboçar (ou obter) y[n] quando
x[n]=u(n+1)-u(n-1).
Informações relevantes dadas:
y[n]-2\,x[n]+0,5\,x[n-1]=0.
x[n]=u(n+1)-u(n-1).
Também usarei a definição do degrau unitário: u(n)=1 para n\ge 0 e u(n)=0 para n<0.
Passo 2
Primeiro isolamos y[n] na equação dada para ter a forma explícita do sistema (isso facilita a representação por blocos e o cálculo de saída):
y[n]-2\,x[n]+0,5\,x[n-1]=0
\Rightarrow y[n]=2\,x[n]-0,5\,x[n-1].
Essa é a forma fundamental que usaremos: a saída é combinação linear do sinal atual x[n] e do sinal atrasado x[n-1].
Passo 3
Vou explicar os blocos que precisamos usar (passo a passo, como em prova):
Ganho (multiplicador): um bloco que multiplica o sinal por uma constante. Por exemplo, um ganho 2 fornece a saída 2\cdot x[n].
Atraso de uma amostra (unit delay): bloco que transforma x[n] em x[n-1]. Em notação de sistemas em tempo discreto costuma-se usar z^{-1} para indicar atraso de uma amostra, mas aqui vou chamar apenas de “atraso 1 amostra”.
Somador (adder): bloco que soma (ou subtrai) sinais de entrada.
Exemplo didático do atraso: se x[n]=\{ \dots,0,1,1,0,\dots\} com valores em instantes n=-1,0,1,\dots, então o bloco atraso entrega a sequência deslocada à direita em uma amostra: x[n-1].
Passo 4
Montagem do diagrama por blocos a partir de y[n]=2\,x[n]-0,5\,x[n-1] — descrição direta e clara (como você deve desenhar na prova):
Entrada: \,x[n]\,.
Divida \,x[n]\, em dois ramos.
Ramo 1: passe por um ganho 2. A saída desse ramo é 2\,x[n].
Ramo 2: passe por um bloco atraso (gera x[n-1]) e depois por um ganho -0,5. A saída desse ramo é -0,5\,x[n-1].
Some (adder) as saídas dos dois ramos: 2\,x[n]+(-0,5\,x[n-1]). Essa soma é y[n].
Em palavras compactas (o que você pode escrever como resposta curta na prova):
“Entrada x[n] dividida em dois ramos: um com ganho 2; outro com atraso unitário seguido de ganho -0,5. As duas saídas entram em um somador que gera y[n].”
Passo 5
Agora parte (b): avaliar [y[n]) para o sinal de entrada dado.
Vamos primeiro entender x[n]=u(n+1)-u(n-1).
Avaliação do degrau deslocado:
Para n<-1: u(n+1)=0 e u(n-1)=0 então x[n]=0-0=0.
Para n=-1: u(0)=1 e u(-2)=0 então x[-1]=1-0=1.
Para n=0: u(1)=1 e u(-1)=0 então x[0]=1-0=1.
Para n\ge 1: u(n+1)=1 e u(n-1)=1 então x[n]=1-1=0.
Ou de forma mais curta: x[n]\] é um pulso de amplitude \(1 em n=-1 e n=0 (duração de 2 amostras).]
Passo 6
Agora usamos a relação do sistema \,y[n]=2\,x[n]-0,5\,x[n-1] para calcular y[n] amostra a amostra. Só precisamos checar instantes onde x[n] ou x[n-1] são não nulos; como x é não-nulo apenas em n=-1,0, só alguns y[n] serão não-nulos.
Portanto os únicos instantes com saída não-nula são n=-1,0,1 com os valores calculados acima.
Passo 7
Esboço / interpretação gráfica (como você desenharia rapidamente no caderno):
Traços verticais (stem plot) em n=-1 com altura 2.
Em n=0 com altura 1,5.
Em n=1 com altura -0,5.
Todos os outros pontos com valor zero. Isso já é um esboço suficiente para a prova: três “sticks” em n=-1,0,1 com as alturas indicadas.
Resposta
(a) Entrada \,x[n] dividida em dois ramos: ramo 1 passa por ganho 2; ramo 2 passa por atraso unitário (gera x[n-1]) seguido de ganho -0,5; as duas saídas entram em um somador cujo resultado é y[n].