Um sistema de tempo discreto representado pela seguinte equação:
y[n]-2 x[n]+0,5 x[n-1]=0
Determine:
a) A representação deste sistema por dia blocos.
b) O esboço de y[n], considerando:
x[n]=u(n+1)-u(n-1) .

Passo 1

O enunciado fornece a equação do sistema e pede duas coisas:
  • (a) representar o sistema por blocos;
  • (b) esboçar (ou obter) y[n] quando
x[n]=u(n+1)-u(n-1).
Informações relevantes dadas:
y[n]-2\,x[n]+0,5\,x[n-1]=0.
x[n]=u(n+1)-u(n-1).
Também usarei a definição do degrau unitário: u(n)=1 para n\ge 0 e u(n)=0 para n<0.

Passo 2

Primeiro isolamos y[n] na equação dada para ter a forma explícita do sistema (isso facilita a representação por blocos e o cálculo de saída):
y[n]-2\,x[n]+0,5\,x[n-1]=0
\Rightarrow y[n]=2\,x[n]-0,5\,x[n-1].
Essa é a forma fundamental que usaremos: a saída é combinação linear do sinal atual x[n] e do sinal atrasado x[n-1].

Passo 3

Vou explicar os blocos que precisamos usar (passo a passo, como em prova):
  • Ganho (multiplicador): um bloco que multiplica o sinal por uma constante. Por exemplo, um ganho 2 fornece a saída 2\cdot x[n].
  • Atraso de uma amostra (unit delay): bloco que transforma x[n] em x[n-1]. Em notação de sistemas em tempo discreto costuma-se usar z^{-1} para indicar atraso de uma amostra, mas aqui vou chamar apenas de “atraso 1 amostra”.
  • Somador (adder): bloco que soma (ou subtrai) sinais de entrada.
Exemplo didático do atraso: se x[n]=\{ \dots,0,1,1,0,\dots\} com valores em instantes n=-1,0,1,\dots, então o bloco atraso entrega a sequência deslocada à direita em uma amostra: x[n-1].

Passo 4

Montagem do diagrama por blocos a partir de y[n]=2\,x[n]-0,5\,x[n-1] — descrição direta e clara (como você deve desenhar na prova):
  1. Entrada: \,x[n]\,.
  2. Divida \,x[n]\, em dois ramos.
    • Ramo 1: passe por um ganho 2. A saída desse ramo é 2\,x[n].
    • Ramo 2: passe por um bloco atraso (gera x[n-1]) e depois por um ganho -0,5. A saída desse ramo é -0,5\,x[n-1].
  3. Some (adder) as saídas dos dois ramos: 2\,x[n]+(-0,5\,x[n-1]). Essa soma é y[n].
Em palavras compactas (o que você pode escrever como resposta curta na prova):
“Entrada x[n] dividida em dois ramos: um com ganho 2; outro com atraso unitário seguido de ganho -0,5. As duas saídas entram em um somador que gera y[n].”

Passo 5

Agora parte (b): avaliar [y[n]) para o sinal de entrada dado.
Vamos primeiro entender x[n]=u(n+1)-u(n-1).
Avaliação do degrau deslocado:
  • Para n<-1: u(n+1)=0 e u(n-1)=0 então x[n]=0-0=0.
  • Para n=-1: u(0)=1 e u(-2)=0 então x[-1]=1-0=1.
  • Para n=0: u(1)=1 e u(-1)=0 então x[0]=1-0=1.
  • Para n\ge 1: u(n+1)=1 e u(n-1)=1 então x[n]=1-1=0.
Portanto, explicitamente:
x[n]=\begin{cases} 1, & n=-1,\\[4pt] 1, & n=0,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Ou de forma mais curta: x[n]\] é um pulso de amplitude \(1 em n=-1 e n=0 (duração de 2 amostras).]

Passo 6

Agora usamos a relação do sistema \,y[n]=2\,x[n]-0,5\,x[n-1] para calcular y[n] amostra a amostra. Só precisamos checar instantes onde x[n] ou x[n-1] são não nulos; como x é não-nulo apenas em n=-1,0, só alguns y[n] serão não-nulos.
Calculemos para os instantes relevantes:
  • Para n=-2:
    y[-2]=2\,x[-2]-0,5\,x[-3]=2\cdot 0 -0,5\cdot 0=0.
  • Para n=-1:
    y[-1]=2\,x[-1]-0,5\,x[-2]=2\cdot 1 -0,5\cdot 0=2.
  • Para n=0:
    y[0]=2\,x[0]-0,5\,x[-1]=2\cdot 1 -0,5\cdot 1=2-0,5=1,5.
  • Para n=1:
    y[1]=2\,x[1]-0,5\,x[0]=2\cdot 0 -0,5\cdot 1= -0,5.
  • Para n=2 e além:
    y[2]=2\,x[2]-0,5\,x[1]=0-0=0,
    e para todos n\ge 2 ou n\le -2 a saída é zero.
Portanto os únicos instantes com saída não-nula são n=-1,0,1 com os valores calculados acima.

Passo 7

Esboço / interpretação gráfica (como você desenharia rapidamente no caderno):
  • Traços verticais (stem plot) em n=-1 com altura 2.
  • Em n=0 com altura 1,5.
  • Em n=1 com altura -0,5.
    Todos os outros pontos com valor zero. Isso já é um esboço suficiente para a prova: três “sticks” em n=-1,0,1 com as alturas indicadas.

Resposta

(a) Entrada \,x[n] dividida em dois ramos: ramo 1 passa por ganho 2; ramo 2 passa por atraso unitário (gera x[n-1]) seguido de ganho -0,5; as duas saídas entram em um somador cujo resultado é y[n].
(b)
y[n]=\begin{cases} 2, & n=-1,\\[4pt] 1,5, & n=0,\\[4pt] -0,5, & n=1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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