Use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
converge ou diverge, e caso convirja, calcular seu valor. O conteúdo é integral imprópria em limite infinito e integração de função racional, para o qual vamos precisar fazer decomposição em frações parciais e depois avaliar o limite.
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador
não se anula para
, então não há descontinuidade no intervalo
. O único aspecto impróprio é o limite inferior indo a
. Assim, definimos
Passo 3
Para integrar, fazemos frações parciais:
Resolvendo, obtemos
e
. Logo
Passo 4
Integramos cada termo:
Assim,
Passo 5
Agora calculamos o limite quando
. Para grandes valores negativos,
Logo
Portanto a integral converge e vale
.