Use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.
integral-infty^0 d xx^2-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria

integral-infty^0dxx^2-3x+2 converge ou diverge, e caso convirja, calcular seu valor. O conteúdo é integral imprópria em limite infinito e integração de função racional, para o qual vamos precisar fazer decomposição em frações parciais e depois avaliar o limite.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador x^2-3x+2=(x-1)(x-2) não se anula para x<=0, então não há descontinuidade no intervalo -infty. O único aspecto impróprio é o limite inferior indo a I(A)=integralA^0dx(x-1)(x-2), Ato-infty . Assim, definimos

Passo 3

Para integrar, fazemos frações parciais:
1(x-1)(x-2)=Ax-1+Bx-2
Resolvendo, obtemos A=-1 e B=1. Logo
1(x-1)(x-2)=-1x-1+1x-2

Passo 4

Integramos cada termo:
integrall(-1x-1+1x-2r)dx=-ln|x-1|+ln|x-2|+C
Assim,
I(A)=l[-ln|x-1|+ln|x-2|r]x=A^x=0 = l(-ln1+ln2r)-l(-ln|A-1|+ln|A-2|r)

Passo 5

Agora calculamos o limite quando Ato-infty. Para grandes valores negativos,
ln|A-1| - ln|A-2| = ln|A-1||A-2| = ln-A+1-A+2 to ln1 = 0
Logo
limAto-inftyI(A)=ln2 + 0 = ln2
Portanto a integral converge e vale ln2.

Resposta

ln2

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